第9讲解三角形中解答题4种基础题型

第9讲解三角形中解答题4种基础题型【题型目录】题型一：解三角形计算基础题型题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：解三角形几何图形计算问题题型四：解三角形与三角函数结合【典型例题】题型一：解三角形计算基础题型【例1】在中，内角所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)已知，的外接圆半径为，求的边上的高．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角即可；（2）先根据正弦定理求得，再根据余弦定理求得，进而根据等面积法求得．【详解】（1）解：在中，由，根据正弦定理得，，，，又，．（2）解：在中，，，根据余弦定理得，即，，，，．【例2】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.【答案】(1)(2).【详解】：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.【例3】△ABC的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．【答案】（1）；（2）2．【详解】：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．【例4】在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】(1)选择条件①由正弦定理角化边后，用余弦定理求角；选择条件②，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求角；选条件③，由正弦定理边化角，再利用倍角公式化简，可求角.(2)由已知条件结合正弦定理角化边，得，再利用余弦定理得到，代入面积公式既可.【详解】（1）选择条件①，由及正弦定理，可得，即，由余弦定理，得，因为，所以.选择条件②，由及正弦定理，可得，即，即.在中，，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以.若选条件③，，则，由，有，由，所以，因为，所以，所以.（2）由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，若，由余弦定理得，即，所以，因为，所以，所以的面积为.【例5】在①，②2ccosA＝acosB+bcosA，③b2+c2＝a2+bc，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若已知b＝6，，______，求a的值.【答案】选①：，选②：，选③：【分析】选条件①时，直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换及三角形的面积公式和余弦定理，求出a的值；选条件②时，直接利用三角函数的关系式的变换及三角形的面积公式和余弦定理，求出a的值；选条件③时，直接利用余弦定理及三角形的面积公式，求出结果.【详解】若选①：因为，所以，因为0＜C＜π，所以sinC≠0所以，即，所以，因为0＜A＜π，所以.所以，所以，由余弦定理有，所以.若选②：因为2ccosA＝acosB+bcosA，所以2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，所以2sinCcosA＝sin（A+B）＝sin（π－C）＝sinC因为0＜C＜π，所以sinC≠0，所以，因为0＜A＜π，所以，所以，所以c＝2，由余弦定理有，所以.若选③：因为b2+c2＝a2+bc，所以b2+c2－a2＝bc，所以，因为0＜A＜π，所以，所以，所以c＝2，由余弦定理有，所以.故答案为：；；.【题型专练】1.已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．【答案】（1）；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得又，可得由余弦定理可得（2）由（1）知因为，由勾股定理得故，得所以的面积为12.中，角，，的对边分别为，，，设面积为，已知下列四个条件中，只能同时满足其中三个，①；②；③；④.(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求的周长.【答案】(1)在同时满足条件①③④，理由见解析(2)【分析】（1）先假设②满足，证明出③必满足.再由①满足，得到④必满足；①不满足，则④不满足.判断出②不符合.（2）由条件①③④，先利用面积公式求出，得到为等腰三角形，利用三角公式求出，利用余弦定理求出c，即可求出的周长.【详解】（1）在同时满足条件①③④，理由如下：若满足条件②，已知，可得，且.因为，所以，即满足③.若满足条件①，则，即满足④.此时四个条件都满足，不合题意.若不满足条件①，，即不满足④，此时①④两个条件都不满足，不合题意.综上，条件②不满足，所选三个条件只能是①③④.（2）选条件①③④，因为，所以因为，此时或，又因为，所以.若，则有，满足条件②不合题意.所以，由余弦定理得，所以.所以的周长为：3.ΔABC各个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcos(1)求∠B的大小；(2)若b=3,a+c=3，求【答案】解：(1)由正弦定理得：sin B∵sin∴sin∴3∴3∴2sin(B−π(2)由余弦定理b2==(a+c)∴ac=2，∴4.在中，角、、所对边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.5.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【详解】（1）由题设，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得证.（2）由题意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.题型二：解三角形与三角恒等变换结合【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），，，.【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）因为，所以，即，解得，又，所以；（2）因为，所以，即①，又②，将②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【例3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，再根据余弦定理求解即可；（2）结合（1）得，再根据三角恒等变换求解即可.【详解】（1）解：∵，∴∵∴，即∵，∴∴（2）解：∵，∴∴【题型专练】1．在中，内角所对的边分别是，，.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据余弦定理，运用代入法进行求解即可；（2）根据正弦定理进行求解即可；（3）由（2）利用二倍角公式计算出，然后利用两角差的正弦公式展开计算即可.【详解】（1）由余弦定理，得，所以（2）在中，因为，所以，由正弦定理，得，所以（3）由（2），所以所以.2.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【分析】【详解】（1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：是直角三角形；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合两角和得正弦公式即可证；（2）根据平方关系及诱导公式求出，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，即，则，即，由，得，又，所以，所以为直角三角形；（2）解：由，可得，则，则，即，解得，因为，所以，所以．4．的内角，，所对的边分别为，，，已知，(1)若，且，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据正弦定理和三角形面积公式即可求得，.（2）利用辅助角公式即可求得.【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以所以，，故.，，由余弦定理，，得，解得.（2），故，，，，故或题型三：解三角形几何图形计算问题【例1】如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．(1)证明：；(2)若AB＝2，AC＝1，，求△ABD的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理即可求证，（2）根据余弦定理得，进而可得,，根据比例即可由面积公式求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,又，故，由于，所以，因此，（2）由AB＝2，AC＝1，以及余弦定理可得,由于为三角形内角,所以，由(1)知,故因此,进而得【例2】在平面四边形中，，，．(1)若，求的长；(2)求四边形周长的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）分析可知为等边三角形，求出的长，以及，利用正弦定理可求得的长；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得四边形周长的最大值.【详解】（1）解：连接，因为，，故为等边三角形，，，则，由正弦定理得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，四边形周长的最大值为.【例3】如图，在四边形中，(1)求角的值；(2)若，，求四边形的面积【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.（1），因为，得，或，解得或，因为，得，（2）在中，，在中，，，，，得，，所以四边形的面积为【例4】如图，在梯形中，，．(1)若，求周长的最大值；(2)若，，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即得出周长的最大值；（2）利用正弦定理可得出、，两式相除可得出关于的等式，即可求得的值.【详解】（1）解：在中，，因此，当且仅当时取等号．故周长的最大值是．（2）解：设，则，．在中，，在中，．两式相除得，，，因为，，，故．【例5】如图，四边形中，，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据余弦定理求出，由勾股定理判断出为直角三角形，求解即可；（2）根据余弦定理求出，，结合勾股定理求出参数，计算即可．（1）中，设，则，解得，；（2）设，则设，，中，中，，，可得，化简得，即又，，即，解得【题型专练】1．如图，已知在中，M为BC上一点，，且．(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，，在中，．（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或．因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．(1)求BE的长；(2)若，求五边形ABCDE的周长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．【详解】（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，则.（2）由（1）知：，则，，由且，则，所以.所以五边形ABCDE的周长.3．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；（2）根据内接四边形可得，再根据正弦定理求解即可【详解】（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.4．如图，在已知圆周上有四点、、、，，，.(1)求的长以及四边形的面积；(2)设，，求的值.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用余弦定理求出、的长，再利用同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）利用余弦定理求出、的值，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及两角和的正弦公式化简可得结果.(1)解：由余弦定理可得，整理可得，因为，解得.由圆内接四边形的性质可知，所以，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，因为，所以，.(2)解：由余弦定理可得，，则为锐角，为钝角，所以，，，则，，因此，.5．在中，角所对的边分别为，.(1)判断的形状，并加以证明；(2)如图，外存在一点D，使得且，求.【答案】(1)直角三角形，证明见解析；(2)5【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；（2）根据正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，结合中垂线性质即可得解.（1）在中，由正弦定理得又，所以化简得：，，所以，，所以，是直角三角形方法二：在中，由余弦定理得整理得，所以，是直角三角形（2）方法一：在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.方法二：作，垂足为，，垂足为,则，在中所以，为的中垂线所以题型四：解三角形与三角函数结合【例1】已知向量，，.(1)求的单调增区间；(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的最大值.【答案】(1)递增区间为，；(2).【分析】(1)利用向量的数量积的坐标公式、二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用整体代入法以及正弦函数的性质即可求解；(2)结合(1)中结论求出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换即可求解.（1）由，，得，，所以的单调递增区间为，.（2）由，得，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，且，当且仅当时，有最大值为，故的最大值为.【例2】设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值.（2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值.(1)由题设，，所以，当时的最小值为.(2)由，得：，则，又，所以，故，则.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，则.【例3】已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.(1)令，则所以，单调减区间是.(2)由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，则，，，所以.【例4】已知函数.（1）求的对称轴和单调区间；（2）在中，角，，的对边为，，，若，，，求中线的长.【答案】（1）对称轴为，；减区间为：，；增区间为：，；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，即可根据正弦函数的性质求出对称轴和单调区间；（2）由可求出，再求出，即可根据正弦定理求出，再由余弦定理即可求出.【详解】（1），令，解得，，∴函数的对称轴为，，令，解得，令，解得，的递减区间为：，；递增区间为：，.（2）由（1）知，∵在中，∴，∴，∴，又，∴，∴，在中，由正弦定理，得，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴.【点睛】本题考查由三角恒等变换化简求三角函数性质，考查正余弦定理的应用，属于基础题.【题型专练】1．已知向量，，函数.（1）求函数的零点；（2）若钝角的三内角的对边分别是，，，且，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）化简得出，由可求解；（2）由可得，由正弦定理化简得出，根据的范围即可求出.【详解】（1）由条件可得：，∴，所以函数零点满足，则，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化简得：，又在钝角中，不妨设为钝角，有，则有.∴.2．已知、、分别为的三个内角、、的对边，设，，若．（1）求角；（2）若是锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示结合余弦定理求出的值，再由可求得角的值；（2）求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简可得，利用正弦函数的基本性质可求得的取值范围．【详解】（1）因为，，且，所以，，由余弦定理可得，整理可得，由余弦定理得，，因此，；（2）且为锐角三角形，则，即，解得，所以，，，所以，，则，故.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.3．已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求的值；（2）在锐角中，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用图象变换求出函数的解析式，由求出，利用正弦函数的基本性质求出，结合已知条件可求得实数的值；（2）利用为锐角三角形求出角的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，则，，，当，即时，最大