解答题压轴题训练（四）-2020-2021学年高一数学下学期期末考试压轴题专练（2019尖子生专用）

解答题压轴题训练（四）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥平面ABCD，AC与(1)证明：BD⊥A(2)求直线A1C与平面(3)求二面角A−A1【答案】(1)证明：由AA1⊥平面ABCD，有AA1⊥BD;

由四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD，

又因为AC∩AA1=A，所以BD⊥平面ACC1A1，

因为A1C⊂平面ACC1A1，

所以BD⊥A1C．

(2)设点C到平面A1BD的距离为h，则有在△A1DB中，A1D=10,A1B=A1A2+AB2=10,DB=2，

所以，

所以，

因为VA1−DBC=VC−A1DB，

得ℎ=2，

又因为，

又因为A1C=A1A2+AC2=32，

设A1C与平面A1BD夹角为θ，

则sinθ=ℎA1C=232=13．

(3)过O作OE⊥A1C于【知识点】线面垂直的判定、二面角、线面垂直的性质、直线与平面所成角【解析】本题考查了面面垂直的判定以及性质，线面角和二面角的求法，属于中档题．

(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面ACC1A1是解题的关键；

(2)根据等体积转化求出点C到平面A1BD的距离为h，即可求出直线A1C与平面A1BD夹角的正弦值；已知▵ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设▵APQ的面积为S1，▵ABC的面积为S2，AP→(1)求GA→(2)求证：1p(3)求S1【答案】解：(1)延长AG交BC于D，则D为BC中点，，∵G是重心，∴GA；(2)设AB→∵AP→=p∵AQ→=q∵P,G,Q三点共线，则存在λ，使得PQ→=λPG即，，整理得λ=3p2p−1即2p−1p=1+qq，即(3)由，，，∵1p+1q，∵p>1，∴0<1则当1p=12时，S1S2取得最小值4∵1p≠1，则S【知识点】向量的夹角、向量的加法、减法、数乘运算、三角形面积公式、向量的数量积、平面向量的基本定理及其应用【解析】本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题．

(1)延长AG交BC于D，则D为BC中点，可得，GA→=−2(2)设AB→=a→,AC→(3)可得，再根1p+1q

已知向量m=(3cos  x, −cos  x)，n=(−2asin  x, 2acos  x)，其中(2)

设函数，当时，是否存在整数使得f(x)的值域为？若存在，请求出a,b的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵

|m+n|=|m−n|

∴

(m+n)2=(m−n)2，即m⋅n=0

，

∵

m=(3cos x, −cos x)，n=(−2asin x, 2acos x)

∴

−2a3sinxcosx−2acos2x=0，即3sinxcosx+cos2x=0

，

∵

x∈(−π2 ,  0)

∴

cosx∈(0 ,  1)

，

∴

3sinx+cosx=0，即tanx=−33，∴x=−π6

，

∴

cos(x+π4)=2【知识点】辅助角公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、向量的数量积【解析】本题考查三角函数求值，三角函数的值域，是中档题．

(1)由|m+n|=|m−n|得m⋅n如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，落在边BC上且不与端点B，C重合，设．

(1)若θ=π(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，AˈN的长度最短，求此时绿地公共走道【答案】解：(1)∵△AMN≌△AˈMN，，

，

∴BM=12A′M=12AM．

∴AM=23AB=23a，

∵AB=a，BC=3a，，，

∴△AMN是等边三角形，

∴S=2S△AMN=2×34×4a29=23a29．

(2)∵∠BMA′=π−2θ，AM=A′M，

∴BM=A′Mcos∠BMA′=−AMcos2θ．

∵AM+BM=a，即AM(1−cos2θ)=a，

．

在△AMN中，由正弦定理可得：，

，

令．

【知识点】解三角形的实际应用、辅助角公式、三角形面积公式、二倍角公式及其应用、三角函数的最值、半角公式与万能公式、正弦、余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、正弦定理【解析】本题考查函数模型的选择与应用、函数的最值及三角函数的图象和性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．

由∠B=π2，AB=a，BC=3a，可得∠BAC=π3，关注△BA′M与△AMN的特殊性，即可求解；

(1)因为θ=π3，所以BM=12A′M=12AM，可求得AM得长度，另△AMN为等边三角形，进而得到公共绿地的面积；如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，△PAD是边长为2的正三角形，PC=10，E为线段AD(1)求证：平面PBC⊥平面PBE；(2)是否存在满足PF=λFC(λ>0)的点F，使得V【答案】(1)证明：因为△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，所以PE⊥AD．因为ABCD是菱形，所以AD=AB．因为∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形，所以BE⊥AD，

又PE∩BE=E所以AD⊥平面PBE．又AD // BC，所以BC⊥平面PBE．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBE．(2)解：由PF=λFC所以，VB−PAEVD−PFB因此，VB−PAE=3所以，λ=2．即存在满足PF=λFC(λ>0)的点F，使得V【知识点】线面垂直的判定、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、面面垂直的判定【解析】本小题主要考查平面与平面垂直判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想．

(1)由已知推导出AD⊥平面PBE，通过AD // BC，可得BC⊥平面PBE，进而可证平面PBC⊥平面PBE；

(2)由PF=λFC，知(λ+1)FC=PC，可得VB−PAE=12V在边长为1的菱形ABCD中，A=60°，E是线段CD上一点，满足|CE|=2|DE|，如图所示，设AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示BE．

(2)在线段BC上是否存在一点F，满足AF⊥BE?【答案】解：(1)根据题意得：BC=AD=b，

CE=23CD=23BA=−23AB=−23a，

BE=BC+CE=b−23a．

(2)设BF=tBC=tb，则FC=1−tb，t∈0,1，

∴AF=AB+BF=a+tb，

【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的加法、减法、数乘运算、向量的模、向量的数量积【解析】本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，属于中档题．

(1)根据题意可知BC=AD=b，求得CE=−23a，从而即可得到BE的值．

(2)根据题意设BF=tBC=tb，求得AF,BE关于

a，b的表达式，为使AF⊥BE在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA(1)若▵ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a=7，②b=10，③c=8，④▵ABC(2)若a=3，求▵ABC周长L的取值范围．【答案】解：因为sinAcosA=sinB+sinCcosB+cosC，

所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，

即sinAcosB−cosAsinB=sinCcosA−cosCsinA，

所以sinA−B=sinC−A

因为A，B，C∈(0,π)，

所以A−B=C−A，即2A=B+C，所以A=π3，

(1)▵ABC还同时满足条件①③④，

理由如下：

若▵ABC同时满足条件①②，

则由正弦定理得sinB=bsinAa=537>1，这不可能，

所以▵ABC不能同时满足条件①②，

所以【知识点】辅助角公式、三角形面积公式、两角和与差的三角函数公式、正弦定理【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，和差角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．

(1)先对已知等式结合和差角公式进行化简，可求A，进行合理组合，结合正弦定理及三角形的面积公式即可判断；

(2)由已知结合正弦定理可表示b，c，然后代入周长公式后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求．

某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD= 4万米，BC=6万米，CD=2万米．

(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及线段AC的长；(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．【答案】解：(Ⅰ)∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：

，

．

∴cos∠ABC=12，

∵∠ABC∈(0,π)，故∠ABC=60°，故

=83

(万平方米)；

在△ABC中，由余弦定理：

=16+36−2×4×6×12=28，

∴AC=27；

(Ⅱ

又，

设AP=x，CP=y，

则，

又由余弦定理

=x2+y2−xy=28，

∴x2+y2−xy⩾2xy−xy=xy，

∴xy≤28，当且仅当x=y【知识