第03练平面向量的数乘运算-2021-2022学年高一数学下学期考点(人教A版2019)

第3练平面向量数乘运算eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一．选择题1．设为非零向量，则（）．A． B． C． D．【解析】，故答案为：A.2．化简的结果是A． B． C． D．【解析】原式等于．故选：．3．若，化简的结果为（）A． B． C． D．【解析】，故选：A.4．若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．【解析】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．5．对实数、和向量，，，正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则【解析】对于A：由数乘向量的性质可知：，故A正确；对于B：表示与平行的某个向量，表示与平行的某个向量，显然不一定相等，故B错误；对于C：当或时，，显然成立，但不成立，故C错误；对于D：当时，成立，但不一定成立，故D错误；故选：．6．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．【解析】对于A，若，则与的方向相同，A错；对于B，，则与的方向相同，B对；对于C，当时，，C错；对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，D错.故选：B.7．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（）A．与的方向相反B．与的方向相同 C． D．若，则【解析】对于A，当λ＞0时，与的方向相同，故A错误；对于B，而，故与的方向相同，B正确；对于C，，由于|λ|的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C错误；对于D，向量不能比较大小，故D错误.故选：B.8．下列结论正确的是（）A．若，则或B．若，，则C．若，，则或D．若，其中，则【解析】时，与可能不共线，如，，满足，但没有或成立，A错；，，若，则与可能不共线，B错；由向量数乘定义知C正确；时，，但与可以是任意向量，不一定相等，D错．故选：C．9．若，则实数的值是A． B． C． D．【解析】由题意得，结合图示可得：所以，故选：．10．设，分别为两边，的中点，则A． B． C． D．【解析】因为，分别为两边，的中点，所以．故选：．11．在中，点是边的中点，则A． B． C． D．【解析】由题意知．故选：．12．在中，是的中点，则A． B． C． D．【解析】在中，是的中点，，故选：．13．在中，点满足，则A． B． C． D．【解析】．故选：．14．已知平行四边形，若，，且交于点，则A． B． C． D．【解析】因为在上，所以存在实数，使得．在平行四边形中，，所以．因为，，三点共线，所以，解得．故选：．15．已知是平面上的两个不共线向量，向量，．若，则实数（）A．6 B． C．3 D．【解析】，．向量，，．．是平面上的两个不共线向量，，．故选：B16．在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点．设，，则A． B． C． D．【解析】因为，所以，则．故选：．17．在中为边的中点，则A． B． C． D．【解析】因为为边的中点，所以，因为，所以，则．故选：．18．在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为A． B． C． D．【解析】如图，为的中点，，且为线段上一点，，解得．故选：．19．已知为所在平面内一点，，则A． B． C． D．【解析】因为为所在平面内一点，，所以．故选：．20．在中，点为边的中点，点在线段上，并且，则A． B． C． D．【解析】如图，为的中点，，又，，．故选：．21．在平行四边形中，，，若是的中点，则A． B． C． D．【解析】如图所示，平行四边形中，，，则，又是的中点，则．故选：．22．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于A． B． C． D．【解析】设，，．，，则．，，，．故选：．23．如图在梯形中，，，设，，则A． B． C． D．【解析】取中点，由可知，四边形为平行四边形，则．故选：．24．在等腰梯形中，，为的中点，则A． B． C． D．【解析】如图所示，等腰梯形中，，，；又为的中点，，又，；；．故选：．25．如图，平行四边形中，分别是的中点，若，，则A． B． C． D．【解析】平行四边形中，分别是的中点，，，故选：．26．在中，，，若，则等于A． B． C． D．【解析】在中，，，，，，，．故选：．27．如图四边形为平行四边形，，若，则的值为A．1 B． C． D．【解析】由题意，可知：在中，，，，又，综上两式，可知：．故选：．28．如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则A． B． C． D．【解析】因为点是的中点，所以，又，则，所以，因为，，三点共线，则，解得．故选：．29．如图，四边形是平行四边形，是的中点，点在线段上，且，与交于点，若，则A． B． C． D．【解析】连接，因为，，三点共线，所以，因为，所以，所以，因为是的中点，所以，因为，所以，则，解得．故选：．30．命题及点满足；命题是的重心，则是的A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】如图：充分性：取的中点，连接，并延长至，使，则四边形为平行四边形，．又，，即、、三点共线，且为三等分点，故为的重心；必要性：设是的重心，则是的三边中线的交点，，又，．命题成立，故必要性成立．综上，则是的充要条件．故选：．31．已知，是不共面向量，设，，，，若的面积为3，则的面积为A．4 B．5 C．6 D．8【解析】因为，，，，所以，，所以，所以且，取中点，中点，做，垂足为，则，则，，所以，所以，，三点共线且，所以，，所以，所以的面积为8．故选：．32．如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于A． B． C． D．【解析】，，，四边形为平行四边形，，，的面积与的面积之比为：．故选：．33．已知为所在平面内一点，，则A． B． C． D．【解析】根据题意，如图，设的中点为，连接，则有，又由，则有，是线段的中点，则到的距离是到距离的，故，故选：．34．若点是内一点，且满足，则A． B． C． D．【解析】由题意知点是的重心，如图所示：作，，垂足分别为、，，是重心，，与同底，．故选：．35．已知为所在平面内一点，为中点，且，设，，的面积分别为，，，则A． B． C． D．【解析】因为为中点，所以，代入条件有，即，所以，，三点共线，因为为中点，所以，，两式相减，得．故选：．36．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则A．3 B．4 C．6 D．8【解析】因为，所以，设为的中点，为的中点，如图所示：则有，，所以，则，，三点共线，且，所以，所以点到的高等于点到的高的4倍（相似三角形的性质），则，又因为是的中点，所以，即，所以，故选：．37．设点为内一点．且，则A． B． C． D．【解析】，，设为边的中点，则：，如图，，，三点共线，，．故选：．38．设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则A． B． C． D．【解析】如图，取的中点为，，，，、、三点共线且，，，故选：．二．多选题39．已知实数，和向量，，下列说法中正确的是A． B． C．若，则 D．若，则【解析】根据向量的运算法则可知，选项，正确；对于，当时，，但向量，不一定相等，故选项错误；对于，因为，所以，又因为，所以，故选项正确．故选：．40．若点是线段外一点，点是平面上任意一点，且，则下列说法正确的有A．若且，则点在线段的延长线上 B．若且，则点在线段的延长线上 C．若，则点在外 D．若，则点在内【解析】因为若且，故即又则点在线段或其反向延长线上，错误；若且，同上可得而则点在线段的延长线上，正确；若，，同上可得，当时，根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点在外，正确；若，不防令，则，很显然此时点在线段的延长线上，不在内，错误．故选：．41．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的【解析】若，则点是边的中点，故正确；若，即有，即，则点在边的延长线上，故错误；若，即，则点是的重心，故正确；若，且，可得，设，由右图可得为的中点，则的面积是面积的，故正确．故选：．三．填空题42．在平行四边形中，是对角线上的一点，且，设，，则．（用，表示）【解析】，故答案为：，43．在中，已知点满足，若，则．【解析】，，故答案为：．44．已知为的重心，且，则．【解析】取中点，则，为的重心，，，故．故答案为：．45．已知，则．【解析】由得得，即，，得，．故答案为：．46．在中，为边上的中线，为的中点，若，则．【解析】由题意，，，，．故答案为：．47．已知是内部一点，且，则的面积与的面积之比为．【解析】根据题意，设在边上，且，则，又由，变形可得：，则，则是的中点，故到边的距离为到边距离的，则的面积与的面积之比为，故答案为：．48．已知、、是平面内任意三点，点在直线上，若，则．【解析】点在直线上，且，，；故答案为：．49．设向量，不平行，若向量与平行，则实数的值为．【解析】向量与平行，存在实数使得，化为，向量，不平行，，解得．故答案为：．50．已知向量，不共线，且，则___________.【解析】因为向量，不共线，且，所以有，则解得.故答案为：51．设是平面内两个不共线的向量，，，，．若A，，三点共线，则的最小值是___________.【解析】，．若A，，三点共线，设，即，是平面内两个不共线的向量，，解得，，即，则，当且仅当，即，即，时，取等号，故最小值为4，故答案为：452．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为______．【解析】是线段上一点，，，三点共线，，，且，，，当且仅当时取等号．的最小值为9．故答案为：9．53．已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则___________.【解析】因为，，三点共线，故可得//，则存在非零实数，使得，又，，故可得，又非零向量不共线，故可得，解得.故答案为：.四．解答题54．如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示、、．【解析】；；又，；．55．设，分别是梯形的对角线与的中点（1）试用向量证明：；（2）若，求的值．【解析】（1）为中点，，又为中点，；，又向量与共线，设向量，则，①，又梯形中，，，即；（2）向量与反向，且；所以，即代入①式，得，．56．如图所示，在中，，，与相交于点，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，．记，，求证：为定值．【解析】（1）由，，三点共线，可设，由，，三点