第06讲向量概念

第06讲向量概念【学习目标】1、了解向量的实际背景和概念．2、清楚向量的几何表示．3、区分相等向量与共线向量．【考点目录】考点一：向量的基本概念考点二：向量的表示方法考点三：利用向量相等或共线进行证明考点四：向量知识在实际问题中的简单应用【基础知识】知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．知识点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【考点剖析】考点一：向量的基本概念例1．给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】①若，则，故错误；②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；故选：A例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；因为向量不能比较大小，故②错误；若，则向量方向相同，故③正确；当时，向量的方向不能确定，故④错误.所以正确命题的个数是2个.故选：C.考点二：向量的表示方法例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．（1）试以B为起点画一个向量，使；（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．考点三：利用向量相等或共线进行证明例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解析】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．即证.例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.（1）写出与向量共线的向量；（2）求证:.【解析】（1）根据题意，与向量共线的向量为：，，.（2）∵ABCD是平行四边形，，，且E，F分别为边CD，AB的中点，∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．考点四：向量知识在实际问题中的简单应用例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，∴在中，，故为平行四边形，∴，则（海里）．例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.【解析】（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.由于，故方向约为北偏东53°.【真题演练】1．（2022·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（

）A．零向量只有大小没有方向 B．C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等【答案】B【解析】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误．故选：B．2．（2022·全国·高一课时练习）下列说法错误的是（

）A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）有下列结论：①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；②若，则，不是共线向量；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，错误的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.综上，错误的是②③⑤，共3个.故选：B.4．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是（

）①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；④若，则，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线；②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确；④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.故选：B.5．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件D．“”的充要条件是“且”【答案】BC【解析】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；对于B，由平面向量相等可得B正确；对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确；对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误；故选：BC6．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（

）A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等【答案】AB【解析】对于C，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等；对于D，向量与互为相反向量，由向量模的定义，零向量的定义AB正确．故选：AB．7．（多选题）（2022·新疆·疏勒县实验学校高一期末）下面关于向量的说法正确的是（

）A．单位向量：模为的向量B．零向量：模为的向量C．平行共线向量：方向相同或相反的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量【答案】ABCD【解析】根据向量的定义可得，模为的向量为单位向量，模为的向量为零向量，方向相同或相反的向量为共线向量，模相等，方向相同的向量为相等向量，ABCD均正确，故选：ABCD．8．（2022·全国·高一课时练习）已知O是正方形ABCD的中心，则向量是___________.（填序号）①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.【答案】④【解析】根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量是模都相等的向量.故答案为：④.9．（2022·全国·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.(1)分别写出与、相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)写出与的夹角为的向量；(5)向量与是否相等？【解析】（1）依题意，因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，所以，；由题可得：，；（2）与共线的向量有，，.（3）与的模相等的向量有：，，，，，，.（4）与的夹角为的向量有，，，；（5）向量与不相等，因为它们的方向不相同．【过关检测】一、单选题1．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则【答案】C【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C2．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）以下说法正确的是（

）A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则【答案】A【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；对于C,时，或，故错误；对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．故选：A．3．（2022·陕西西安·高一期末）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．向量与向量的长度相等C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，则【答案】B【解析】对于A；当，则不一定平行，故A错，对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，故选：B4．（2022·河南许昌·高一期末（理））已知P在所在平面内，满足，则P是的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】表示到三点距离相等，为外心．故选：A．5．（2022·浙江丽水·高一期末）若为非零向量，则“”是“共线”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意为非零向量，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.故选：B.6．（2022·全国·高一）下列说法正确的是（

）A．若向量与共线且与不为零向量，则存在实数，使得B．零向量是没有方向的向量C．任意两个单位向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小【答案】A【解析】∵与为非零向量，且共线，∴存在实数，使得，A正确；零向量的长度为0，方向是任意的，故B错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.故选：A.7．（2022·山东菏泽·高一期中）数轴上点A，B分别对应，则向量的长度是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】数轴上点A，B分别对应，则向量的长度即.故选：C．8．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）在下列说法中：①若，，则；

②零向量的模长是；③长度相等的向量叫相等向量；

④共线是在同一条直线上的向量．其中正确说法的序号是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确，模为的向量叫做零向量，故②正确，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；故选：A二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）下列叙述中错误的是（

）A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量【答案】ABCD【解析】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，当时，无意义，故D错误．故选：ABCD10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量B．若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C．若向量与不共线，则与都是非零向量D．若，，则【答案】CD【解析】有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，故A不正确．两个相等的非零向量可以在同一直线上，故B不正确．若向量与不共线，则与都是非零向量，否则不妨设为零向量，则与共线，这与与不共线矛盾，故C正确．若，则，的长度相等且方向相同；若，则，的长度相等且方向相同，所以，的长度相等且方向相同，故，故D正确．故选：CD．11．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线【答案】ABD【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，故A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线故C正确，D错误.故选：ABD．12．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）如下四个命题中，说法正确的是（

）A．向量的长度与向量的长度相等；B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；C．两个公共终点的向量，一定是共线向量；D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．【答案】AB【解析】向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误，选项D，也有可能直线AB与直线CD平行；故选：AB三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）若地位于地正西方向处，地位于地正北方向处，则地相对于地的位移是________．【答案】西北方向【解析】根据题意画出图形如图所示，由图可知，且，故地相对于地的位移是西北方向．故答案为：西北方向.14．（2022·上海市浦东中学高一期末）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）【答案】假命题【解析】当向量时，若，可得；当向量时，若，则与不一定共线，所以命题为假命题.故答案为：假命题15．（2022·山东菏泽·高一期中）已知A、B、C是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则＝________.【答案】【解析】向量与向量是平行向量，则向量与向量方向相同或相反；向量与是共线向量，则向量与向量方向相同或相反，又由A、B、C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线则＝.故答案为：16．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有________个与向量相反的向量，模长为的向量共有________个．【答案】

【解析】如图所示，其中单位向量有与相反，共个；正方体棱长为，正方体体对角线长为，模长为的向量有，，，，，，，，共个．故答案为：，．四、解答题17．（2022·全国·高一课前预习）如图ABCD是菱形，则在向量、、、、