专题09最值模型（原卷版）

专题09最值模型【解题技巧归纳总结】这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等【典型例题】例1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知三棱锥的四个顶点均在体积为的球面上，，，则三棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．例2．（2022·全国·三模（文））已知三棱锥的体积为，其外接球的体积为，若，，则线段SA的长度的最小值为（

）A．8 B． C．6 D．例3．（2022·辽宁抚顺·一模）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（

）A． B． C． D．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且，，若是线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（

）A． B．C． D．例5．（2022·陕西榆林·三模（文））阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马中，平面，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是（

）A． B． C． D．例6．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））直四棱柱的每个顶点都在球的球面上，底面为平行四边形．若，侧面的面积为，则球表面积的最小值为（

）A． B． C． D．例7．（2022·湖北·高三开学考试）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.例8．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）已知正方体的棱长为，点E为棱上一动点，点F为棱上一动点，且满足，则三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为___________.【过关测试】1．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正三棱柱的侧面积为，若三棱柱的各个顶点均在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥中，平面，，的面积为3，则三棱锥的外接球体积的最小值为（

）A． B． C． D．5．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P为圆上的动点，则（

）A．若平面，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则C．三棱锥体积的最大值为D．点A到平面距离的最大值为6．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（

）A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体的体积7．（2022·全国·高三专题练习）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是___________．8．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为________．9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）用经过球O表面上两点A，B的平面去截球O，所得截面面积的最小值为，若为等边三角形，则球O的表面积为______．10．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知四面体ABCD中，为等边三角形，，，若，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______11．（2022·全国·模拟预测（文））已知在三棱锥中，，，则当取得最小值时，该三棱锥外接球的表面积为______．12．（2022·全国·模拟预测）在四面体ABCD中，，，，则四面体外接球的表面积的最小值为______.13．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为______．14．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是___________.16．（2022·全国·高三专题练习（文））若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球О表面积的最小值是___________.17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在中，分别取边的中点，将分别沿三条中位线折起，使得重合于点则三棱锥的外接球体积的最小值为________________________．18．（2022·江苏南通·高三期末）我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为________．19．（2022·广东汕头·三模）如图，DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为__________；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面