151全称量词与存在量词（课件）-高一数学(人教A版2019)

高中数学

人教A版（2019）

必修第一册第一章

集合与常用逻辑用语1.5.1全称量词与存在量词山东沂水县第四中学教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第五节《全称量词与存在量词》。以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：第四节第五节课时内容充分条件与必要条件（共2课时）全称量词与存在量词（共2课时）所在位置教材第17页教材第26页新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，体现了数学抽象的核心素养；会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。教学主线命题的真假判断学习目标

1.通过实例，理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词，培养学生的数学抽象核心素养；2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养；3.会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。重点、难点重点：全称量词与存在量词的含义难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假（一）新知导入1.创设情境

生成问题

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题.（一）新知导入2.探索交流，解决问题【问题1】(1)文中理发师说:“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有的”这一词语,你还能用其他词语代替吗?(2)上述词语都有什么含义?[答案]（1）“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”“凡是”等.（2）表示某个范围内的整体或全部（二）全称量词与存在量词【思考1】下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）x＞３；(2)2x＋１是整数；(3)对所有的

；(4)对任意一个

是整数.[答案]（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。（3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题。（二）全称量词与存在量词全称量词与全称量词命题(1)短语“

”“

”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“

”表示.(2)含有

的命题,叫做全称量词命题.(3)全称量词命题的表述形式:

,可简记为:

,读作“

”【思考2】（1）常用的全称量词还有哪些？（2）全称量词命题中是否一定含有全称量词？（3）全称量词命题具有什么特点？[提示]（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.（2）不一定，命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题。（3）全称量词命题是陈述某集合的所有元素都具有某种性质的命题。所有的任意一个∀全称量词对M中任意一个x,p(x)成立∀x∈M,p(x)对任意x属于M,有p(x)成立（二）全称量词与存在量词【辩一辩】判断正误(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．()(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．()(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．()【做一做】用量词符号“∀”表述下列命题．(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；[答案]

(1)√(2)√(3)×[答案](1)∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0.(2)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．（二）全称量词与存在量词【思考3】下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？（1）2x＋１=３；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个

；(4)至少有一个

能被2和3整除.[提示]（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。（3）是在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题。（二）全称量词与存在量词(1)短语“

”“

”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“

”表示.存在量词与存在量词命题(2)含有

的命题,叫做存在量词命题.(3)存在量词命题的表述形式:

,可简记为:

,读作“

”【思考4】（1）常用的存在量词还有哪些？（2）存在量词命题中是否一定含有存在量词？（3）存在量词命题具有什么特点？[提示]（1）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.（2）存在量词命题的存在量词一般不能省略；（3）存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。存在一个至少有一个∃存在量词存在M中的元素x,使p(x)成立∃x∈M,p(x)存在M中的元素x,使p(x)成立（二）全称量词与存在量词【辩一辩】判断正误(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．()(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．()(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．()【做一做】用量词符号“∃”表述下列命题．(1)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(2)某个四边形不是平行四边形．[答案]

(1)×(2)√(3)√[答案](1)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．(2)∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．（二）全称量词与存在量词例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．①凸多边形的外角和等于360°；②矩形的对角线不相等；③若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．④有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；⑤方程3x－2y＝10有整数解．[思维引导]寻找命题中的量词，判断是全称量词还是存在量词。①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．②可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．③若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．④含存在量词“有些”，故为存在量词命题．⑤可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．[解析]（二）全称量词与存在量词【类题通法】判定一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质，只有全称量词才可省略.【巩固练习1】

[答案](1)(3)(4)为全称量词命题(2)为存在量词命题（三）全称量词与存在量词的真假1.判断全称量词命题与存在量词命题的真假例2.

[解析][思维引导]根据量词的含义判断命题的真假。（三）全称量词与存在量词的真假1.判断全称量词命题与存在量词命题的真假【类题通法】

全称量词命题和存在量词命题真假的判断(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．【巩固练习2】

[答案]C

[解析]（三）全称量词与存在量词的真假2.由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．[解析]

[思维引导]利用命题的真假，把问题转化为集合的关系求解。（三）全称量词与存在量词的真假2.由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数【类题通法】求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．（三）全称量词与存在量词的真假2.由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数【巩固练习3】

[解析]

（四）操作演练

素养提升

4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∀x∈R,2x＋1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数CB

C

C

课堂小结知识总结（1）通过这节课，你学到了什么知识？