山西省岢岚县中学2025届高三下第一次测试数学试题含解析

山西省岢岚县中学2025届高三下第一次测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．2．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（）A． B．C．1 D．33．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立4．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A．①③ B．③④ C．②③ D．②④6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度7．设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．函数在的图像大致为A． B． C． D．9．等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A． B． C． D．12．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A．1 B．2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项满足，则______.14．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．15．某校名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以人一组或者人一组.如果人一组，则必须角色相同；如果人一组，则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，现在新加入名学生，将这名学生分成组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.16．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值.18．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.20．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.21．（12分）已知函数与的图象关于直线对称.（为自然对数的底数）（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.22．（10分）已知，均为正数，且.证明：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2、D【解析】

在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.3、C【解析】

写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.4、B【解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5、D【解析】

计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.【详解】，，，当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；，，故，函数关于对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.6、C【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.【详解】为得到，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得；再将向左平移个单位长度，故可得.故选：C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.7、C【解析】

作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】如图所示，，同时.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.8、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9、C【解析】

解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dP﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.10、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点，∴，则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴，即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11、C【解析】

首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.12、C【解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.故选：C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法．【详解】∵①，∴时，②，①－②得，∴，又，∴（）．故答案为：．【点睛】本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知求的解题方法求解．14、【解析】

设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．【详解】由题意，如图所示，设，则，又由，，所以为的中点，为的三等分点，则，，所以．【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．15、【解析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.【详解】依题意，名学生分成组，则一定是个人组和个人组.①若新加入的学生是士兵，则可以将这个人分组如下；名士兵；士兵、排长、连长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；②若新加入的学生是排长，则可以将这个人分组如下：名士兵；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；③若新加入的学生是连长，则可以将这个人分组如下：名士兵；士兵、排长、连长各名；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；④若新加入的学生是营长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；⑤若新加入的学生是团长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所述，新加入学生可以扮演种角色.故答案为：.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.16、1【解析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和.【详解】由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为.故答案为：【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析．【解析】

（1）已知点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得曲线的方程；（2）设直线方程为，，则，设，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，，由，，用横坐标表示出，然后计算，并代入，可得结论．【详解】（1）设动圆圆心，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得．∴曲线的方程为；（2）证明：设直线方程为，，则，设，由得，①，则，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【点睛】本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入抛物线（或圆锥曲线）方程得一元二次方程，应用韦达定理得，，代入题中其他条件所求式子中化简变形．18、（1）；（2）.【解析】

(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.【详解】（1），，∴，又，∴切线方程为，即.（2）令，，①若，则在上单调递减，又，∴恒成立，∴在上单调递减，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知与在上单调递减，∴在上单调递减，，当即时，在上恒成立，∴在上单调递减，即在上单调递减，又，∴恒成立，∴在上单调递减，又，∴恒成立，当即时，使，∴在递增，此时，∴，∴在递增，∴，不合题意.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题.19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.【详解】（1）由题设知，，即，所以，即，又所以.（2）由题设知，，即，又为锐角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为