2025届高中数学统考第二轮专题复习第11讲空间几何体空间中的位置关系限时集训理含解析VIP

PAGE第11讲空间几何体、空间中的位置关系基础过关1.已知m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中错误的是 ()A.若m⊥n,m⊥α,则n∥αB.若m∥n,m∥α,n⊄α,则n∥αC.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥βD.若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β2.为美化环境,某城市确定用鲜花装饰如图X11-1所示花柱,它的下部是一个底面直径为1米、高为3米的圆柱形物体,上部是一个半球形物体.假如每平方米大约须要鲜花150朵,那么装饰一个这样的花柱大约须要的鲜花朵数为(π≈3.14) ()图X11-1A.1235 B.1435 C.1649 D.18353.某几何体的三视图如图X11-2所示,其中俯视图是圆心角为120°的扇形,则该几何体的体积为()图X11-2A.2π3 B.π3 C.2π94.已知某正方体的体积是8,则这个正方体的外接球的体积是 ()A.23π B.43π C.433π D.85.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列选项中能推出m⊥n的是 ()A.α∥β,m⊂α,n⊥β B.α∥β,m⊥α,n⊥βC.α⊥β,m⊥α,n∥β D.α⊥β,m⊂α,n∥β6.某四棱锥的三视图如图X11-3所示,则该四棱锥的最长侧棱的长为 ()图X11-3A.2 B.22 C.23 D.47.如图X11-4,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是圆柱上底面圆周上异于A,B的一点,D为圆柱下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有 ()图X11-4A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD8.小明有一卷纸,纸特别的薄且紧紧缠围着一个圆柱体轴心卷成一卷,它的整体外貌如图X11-5所示,卷纸的直径为12厘米,轴的直径为4厘米,当小明用掉34的纸后,剩下的这卷纸的直径最接近于 (图X11-5A.6厘米 B.7厘米C.8厘米 D.9厘米9.底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面上的射影为正方形的中心)的外接球半径与内切球半径的比值为 ()A.3+1 B.3C.2+1 D.210.球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球,D,E,F分别是棱SA,SB,SC的中点,那么平面DEF截球O所得截面的面积是 ()A.36π B.40π C.48π D.54π11.我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的新纸的长与宽之比仍约为2,纸张的形态不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径(如图X11-6所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为 ()图X11-6A.π6 B.π4 C.π3 12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,侧棱AA1⊥底面ABC,若该三棱柱的全部顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积的最小值为4π,则该三棱柱的侧面积为 ()A.63 B.33 C.32 D.313.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BC,CC1的中点,则平面AEF截该正方体所得截面的面积为 ()A.98 B.32 C.94 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在面对角线A1D上取一点M,在面对角线CD1上取一点N,使得MN∥平面A1ACC1,则MN的最小值为 ()A.1 B.2 C.22 D.15.如图X11-7,在边长为2的正方形AP1P2P3中,线段BC的端点B,C分别在边P1P2,P2P3(不包含端点)上滑动,且P2B=P2C=x,现将△AP1B,△AP3C分别沿AB,AC折起,使点P1,P3重合,重合后的点记为P,得到三棱锥P-ABC.现有以下结论:图X11-7①AP⊥平面PBC;②当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为6π;③x的取值范围为(0,4-22);④三棱锥P-ABC体积的最大值为13则正确结论的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.416.棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1封闭薄壁容器内有一个高为2、底面半径为1的圆柱水平移动,在移动过程中,该圆柱的一个底面恒在平面ABCD内,则该圆柱不能到达的区域的体积为.

17.已知正三角形ABC的顶点都在球O的球面上,正三角形ABC的边长为23.若球心O到△ABC所在平面的距离为5,则球O的表面积为.

实力提升18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在棱BC上(点M异于B,C两点),点N为棱CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则线段BM的取值范围是 ()A.0,12 B.12,1 C.13,1 D.12,1319.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个和各面都相切的球O,P,Q分别为AB,A1D1的中点,过P,Q作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为 ()A.22 B.2-1 C.2 D.20.如图X11-8,已知平面α∩β=l,B,C∈l,A∈α且A∉l,D∈β且D∉l,则下列叙述错误的是 ()图X11-8A.直线AD与BC是异面直线B.直线CD在α上的射影可能与AB平行C.过AD有且只有一个平面与BC平行D.过AD有且只有一个平面与BC垂直21.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱AB的中点,动点F是侧面ACC1A1(包括边界)上一点,若EF∥平面BCC1B1,则动点F的轨迹是 ()A.线段 B.圆弧C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分22.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的,从正面看,如图X11-9①,蜂巢是由很多上底面为正六边形的中空“柱状体”连接而成的,中空“柱状体”的底部是由三个全等的菱形构成的,菱形的一个内角是109°28',这样的设计含有深刻的数学原理,我国闻名数学家华罗庚曾特地探讨蜂巢的结构并著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构,如图②,在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的三个顶点A,C,E处分别用平面BFM、平面BDO、平面DFN(M在AA'上,O在CC'上,N在EE'上,且AM=CO=EN)截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面BFM、平面BDO、平面DFN交于点P,就形成了蜂巢的结构,如图③.设平面PBMF与平面A'B'C'D'所成的锐二面角的大小为θ,则 ()图X11-9A.tanθ=33tan54°44'B.sinθ=33tan54°44C.cosθ=33tan54°44'D.以上都不对23.如图X11-10,在四棱锥P-ABCD中,AD=DC=AC,DA·DB=DB·DC=3DB·AB.设三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD的体积分别是V1,V2,三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD的外接球的表面积分别是S1,S2.给出以下结论:①V1<V2;②V1=V2;③V1>V2;④S1<S2;⑤S1=S2;⑥S1>S2.其中正确结论的序号为.

图X11-10限时集训(十一)1.A[解析]对于A,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,故A中说法错误,故选A.2.C[解析]由题知圆柱的侧面积为2π×12×3=3π(平方米),半球的表面积为12×4π×122=π2(平方米),所以该花柱的表面积为3π+π2=72π≈10.99(平方米),所以大约须要鲜花10.99×150=1648.5≈1649(朵)3.D[解析]由三视图可知,该几何体是底面半径为2、高为4的圆锥的13,所以该几何体的体积V=13×13×π×22×4=16π4.B[解析]因为该正方体的体积是8,所以该正方体的棱长为2,则这个正方体的外接球的半径为12×23=3所以这个正方体的外接球的体积是4π3×(3)3=43π.故选5.A[解析]对于A,由α∥β,m⊂α,得m∥β,又n⊥β,所以m⊥n,正确;对于B,由α∥β,m⊥α,得m⊥β,又n⊥β,所以m∥n,不正确;对于C,由α⊥β,m⊥α,n∥β,可得m与n平行、相交或异面,不正确;对于D,由α⊥β,m⊂α,n∥β,可得m与n平行、相交或异面,不正确.故选A.6.C[解析]依据三视图可得四棱锥P-ABCD的直观图,如图.底面ABCD是一个直角梯形,AD⊥AB,AD∥BC,AD=4,AB=BC=2,取AD的中点O,连接PO,由题知PO⊥底面ABCD,且PO=2,连接OB,OC,则PA=PD=PC=22+22=22,PB=PO2+OB2=PO2+O7.B[解析]因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC.又AD垂直于圆柱的底面,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD,因为BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.8.B[解析]设小明用掉34的纸后,剩下的这卷纸的直径为x厘米,卷纸高为h,由题意可知(π×62-π×22)h×14=[π×x22-π×22]h,解得x2=48,则x接近于7厘米,故选B9.A[解析]不妨设正四棱锥P-ABCD的棱长均为2,如图所示,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,则PO⊥底面ABCD,PO=22-(2又OA=OB=OC=OD=2,所以O为正四棱锥P-ABCD的外接球球心,且正四棱锥P-ABCD的外接球半径R=2,设正四棱锥P-ABCD的内切球半径为r,则13×r22+12×2×3×4=13×22×2解得r=23于是Rr=2×3+12=3故选A.10.C[解析]过S作SN⊥平面ABC,垂足为N,设SN与平面DEF的交点为M,由题可知N,M分别为△ABC,△DEF的中心,且O在线段SN上,连接CN,OC,则CN=23×63=43,SN=122-(43)2=46,因为OS=OC,所以在Rt△ONC中,由(46-OC)2+(43)2=OC2,得OS=OC=36,又MS=12SN=26,所以MO=OS-MS=6,则截面圆半径R=(36)11.C[解析]∵AB∥CD,∴∠EDC即为异面直线DE与AB所成的角.设CD的中点为O,过E作EF垂直于圆柱的底面,垂足为F,连接OE,OF,∵E是AB的中点,∴F是CD的中点,∴CD⊥OF.又EF⊥CD,EF∩OF=F,∴CD⊥平面OEF,∴OD⊥OE.设AD=1,则CD=2,故OF=22,EF=1,于是OE=12+(∴tan∠EDO=OEOD=6222=3,∴∠EDO=π12.B[解析]设△A1B1C1,△ABC的中心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2的中点为O,连接OA,O2A.设球O的半径为R,则OA=R,设AB=BC=AC=a,AA1=h,则OO2=12h,O2A=23×32AB=33a,则在Rt△OO2A中,R2=OA2=OO22+O2A2=14h2+13a2≥2当且仅当h=233a时,所以S球=4πR2≥4π×33ah,得43π3ah=4π,所以该三棱柱的侧面积为3ah=33.故选B.13.D[解析]连接AD1,D1F,BC1,因为E,F分别是BC,CC1的中点,所以EF∥BC1,又AD1∥BC1,所以EF∥AD1,所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AEF截该正方体所得的截面为梯形AD1FE.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以EF=2,AD1=22,AE=D1F=5,等腰梯形AD1FE的高为32所以S梯形AD1FE=(214.D[解析]过M作MM1⊥AD,垂足为M1,过N作NN1⊥CD,垂足为N1,可得MM1⊥平面ABCD,NN1⊥平面ABCD,MM1∥NN1.连接M1N1,因为MM1∥AA1,MM1⊄平面ACC1A1,所以MM1∥平面ACC1A1,又MN∥平面ACC1A1,MM1∩MN=M,所以平面M1N1NM∥平面ACC1A1,由面面平行的性质定理可知M1N1∥AC.设DM1=DN1=x,在直角梯形MM1N1N中,MN2=2x2+(1-2x)2=6x-132+13,当x=13时,MN取得最小值33,故选15.C[解析]由题意得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,故①正确;当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,三棱锥P-ABC的外接球直径等于以PA,PB,PC为长、宽、高的长方体的体对角线长,由AP=2,BP=CP=x=1,得外接球的半径R=1+1+42=62,所以外接球的表面积S=4πR2=4π×622=6π,故②正确因为正方形AP1P2P3的边长为2,所以x∈(0,2),BC=2x,P3C=P1B=PB=PC=2-x,在△CPB中,由2-x+2-x>2x,解得x<4-22,所以x∈(0,4-22),故③正确;V三棱锥P-ABC=V三棱锥A-PBC=13×12×CP×BPsin∠CPB×AP≤16×(2-x)2×2=(2-x)23,函数y=(2-x)23在(0,4-22)16.17-2π[解析]该圆柱能到达的区域为一个柱体,柱体的底面积S=32-41-π4=5+π,高为2,则该柱体的体积为2(5+π)=10+2π,所以该圆柱不能到达的区域的体积为33-(10+2π)=17-2π.17.36π[解析]正三角形ABC的外接圆半径r=23×32×23=2,球心O到△ABC所在平面的距离d=∴球O的半径R=r2+d2=∴球O的表面积S=4πR2=4π×32=36π.18.B[解析]因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,所以正方体的棱长为1.连接AD1,D1N,当点M为BC的中点时,BM=12,MN∥AD1,所以A,M,N,D1共面,截面为四边形AMND1,不符合题意,解除选项A,C,D故选B.19.C[解析]设直线PQ与球O的表面交于M,N(PM<PN)两点,则线段MN为该直线被球面截在球内的线段,连接PO并延长,交C1D1于R,则R为C1D1的中点,连接RQ,易知PR=22,RQ=2,PQ=6,则RQ2+PQ2=PR2,故RQ⊥PQ.取MN的中点H,连接OH,则OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=12RQ=2连接OM,由题意知球O的半径为1,即OM=1,则MH=OM2-OH2=1-12=220.D[解析]对于选项A,因为D∉α,A∈α,A∉直线BC,所以直线AD与BC是异面直线,A中叙述正确;对于选项B,当AB⊥l,CD⊥l,且二面角α-l-β为锐角时,直线CD在α上的射影与AB平行,B中叙述正确;对于选项C,在AD上任取一点,过该点作BC的平行线l',则由AD与l'确定一个平面,该平面与BC平行,假设过AD还有一个平面与BC平行,由直线与平面平行的性质,可得过直线BC外的一点A有两条直线与BC平行,与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行冲突,假设不成立,C中叙述正确;对于选项D,只有当AD与BC异面垂直时,过AD才有且只有一个平面与BC垂直,否则,不存在过AD与BC垂直的平面,D中叙述错误.故选D.21.A[解析]如图所示,分别取AC,A1C1,A1B1的中点N,H,M,连接ME,MH,NE,NH,因为E为AB的中点,所以NE∥BC且NE=12BC,HM∥B1C1,HM=12B1C1,又BC∥B1C1,BC=B1C1,所以四边形NEMH是平行四边形.因为ME∥BB1,NE∥NE∩ME=E,BC∩BB1=B,所以平面NEMH∥平面BCC