2024-2025学年新教材高中数学第九章解三角形9.1.2余弦定理学案新人教B版必修第四册VIP

PAGE9.1.2余弦定理必备学问·自主学习余弦定理在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有余弦定理语言叙述三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍公式表达c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB变形cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,cosC=QUOTE(1)在a2=b2+c2-2bccosA中,若A=90°,公式会变成什么?提示:a2=b2+c2,即勾股定理.(2)利用余弦定理可以解决哪些问题?提示:①已知两边及其夹角解三角形;②已知三边解三角形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)余弦定理揭示了随意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形 ()(2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC肯定为钝角三角形 ()(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一 ()提示:(1)√.余弦定理反映了随意三角形的边角关系,它适用于任何三角形.(2)√.当a2>b2+c2时,cosA=QUOTE<0.因为0<A<π,故A肯定为钝角,△ABC为钝角三角形.(3)×.当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此△ABC唯一确定.2.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是 ()A.8B.2QUOTEC.6QUOTED.2QUOTE【解析】选D.因为c2=a2+b2-2abcosC=16+36-2×4×6×QUOTE=76,所以c=QUOTE=2QUOTE.3.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cosC=.

【解析】因为a2-c2+b2=ab,所以c2=a2+b2-ab.又因为c2=a2+b2-2abcosC,所以2cosC=1.所以cosC=QUOTE.答案:QUOTE4.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,cosA=-QUOTE,a=QUOTEc,则QUOTE=.

【解析】由余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,整理得b2+bc-2c2=0即QUOTE+QUOTE-2=0,解得QUOTE=1(负值舍去).答案:1关键实力·合作学习类型一利用余弦定理解三角形(数学运算)【典例】(1)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,则c=;sinA=.

(2)在△ABC中,已知a=2QUOTE,b=6+2QUOTE,c=4QUOTE,求A,B,C.【思路导引】(1)利用余弦定理公式求c;(2)已知三条边利用余弦定理求解.【解析】(1)依据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=12+22-2×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.答案:2QUOTE(2)依据余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为A∈(0,π),所以A=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为C∈(0,π),所以C=QUOTE.所以B=π-A-C=π-QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE,B=QUOTE,C=QUOTE.1.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.2.已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出其次个角;最终利用三角形的内角和定理求出第三个角.1.(2024·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,则tanB= ()A.QUOTEB.2QUOTEC.4QUOTED.8QUOTE【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×QUOTE=9,所以c=3,cosB=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以tanB=4QUOTE.2.(2024·南昌高一检测)在△ABC中,sinA=QUOTEsinB,c=QUOTEb,则sinB=.

【解析】因为sinA=QUOTEsinB,所以a=QUOTEb,c=QUOTEb,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE类型二利用余弦定理推断三角形的形态(逻辑推理)【典例】在△ABC中,若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,试推断△ABC的形态.【思路导引】利用正弦定理,化边为角,求出角C的值,然后推断.【解析】由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即cosA=-QUOTE,由于A为三角形的内角,所以A=QUOTE.对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,有2sin2A即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2QUOTE=QUOTE,又由sinB+sinC=1,得sin2B+sin2C所以sinBsinC=QUOTE.从而有sinB=sinC=QUOTE.因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=QUOTE,所以△ABC是等腰的钝角三角形.1.用转化思想解决利用三角形的边角关系推断三角形形态的两条思索路径利用三角形的边角关系推断三角形的形态时,须要从“统一”入手,即运用转化的思想解决这类问题,一般有两条思索路途:(1)化边为角,再进行三角恒等变换,求出角的大小或角的正、余弦值符号.(2)化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式.2.用余弦定理推断三角形形态的常用结论(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2.(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2【解析】【法一化角为边】将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos22bccosBcosC.由余弦定理并整理,得b2+c2-b2QUOTE-c2QUOTE=2bc×QUOTE×QUOTE,所以b2+c2=QUOTE=QUOTE=a2.所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.【法二化边为角】由正弦定理,已知条件可化为sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sinBsinCcosBcosC.又sinBsinC≠0,所以sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0.又因为0°<B+C<180°,所以B+C=90°,所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.【补偿训练】在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,试推断△ABC的形态.【解析】由余弦定理知cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,cosC=QUOTE,代入已知条件得a·QUOTE+b·QUOTE+c·QUOTE=0,通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,绽开整理得(a2-b2)2=c4.所以a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.依据勾股定理知△ABC是直角三角形.类型三正弦定理、余弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)角度1综合利用正弦定理、余弦定理解三角形

【典例】(2024·潍坊高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求B的大小;(2)若b=3,△ABC的周长为3+2QUOTE,求△ABC的面积.【思路导引】(1)先利用正弦定理把条件式中的边转化为角,进行三角恒等变换求角,(2)利用余弦定理并结合已知周长求出ac的值.【解析】(1)由已知及正弦定理得(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,又sin(A+B)=sinC,且C∈(0,π),sinC≠0,所以cosB=-QUOTE,因为0<B<π,所以B=QUOTEπ.(2)由余弦定理得9=a2+c2-2accosB.所以a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.因为a+b+c=3+2QUOTE,b=3,所以a+c=2QUOTE,所以ac=3,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE×3×QUOTE=QUOTE.角度2正、余弦定理与三角函数和平面对量的综合运用

【典例】在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且QUOTE=QUOTE.(1)求C的大小;(2)假如a+b=6,·=4,求c的值.【思路导引】(1)利用正弦定理后弦化切求解.(2)依据平面对量的数量积运算求得ab,结合题目条件和余弦定理求c的值.【解析】(1)因为QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTEcosC.所以tanC=QUOTE.又因为C∈(0,π),所以C=QUOTE.(2)因为·=||·||cosC=QUOTEab,又因为·=4,所以ab=8.又因为a+b=6,由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12,所以c=2QUOTE.正、余弦定理的综合应用的求解策略正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等变换,同时留意三角形中的一些重要性质,如内角和为180°、大边对大角等.1.(2024·遂宁高一检测)在△ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边且sin2A-sin2C=QUOTEsinB,则角C等于 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.由正弦定理得sin2A-sin2C=QUOTEsinB⇒a2-c2=ab-b2,又由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE⇒C=QUOTE.2.(2024·长沙高一检测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b2=ac,且sinC=QUOTEsinB,则其最小角的余弦值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.在△ABC中,sinC=QUOTEsinB,由正弦定理可得c=QUOTEb而b2=QUOTEab,即b=QUOTEa,所以c=QUOTE×QUOTEa=2a,则c>b>a,所以在△ABC中A为最小角,故由余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(2024·新乡高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bsinA=c.若a=2,△ABC的面积为3(QUOTE-1),则b+c= ()A.5 B.2QUOTE C.4 D.16【解析】选C.因为在△ABC中acosB+bsinA=c,由正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinBsinA=cosAsinB,又sinB≠0,所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0,π),所以A=QUOTE.因为S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTEbc=3(QUOTE-1),所以bc=6(2-QUOTE),因为a=2,所以由余弦定理可得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA,所以(b+c)2=4+(2+QUOTE)bc=4+(2+QUOTE)×6(2-QUOTE)=16,可得b+c=4.4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满意b2+c2-a2=bc,·>0,a=QUOTE,则b+c的取值范围是(用区间表示).

【解析】由b2+c2-a2=bc得,cosA=QUOTE=QUOTE,因为0<A<π,则A=QUOTE,由·>0知,B为钝角,又因为QUOTE=1,则b=sinB,c=sinC,b+c=sinB+sinC=sinB+sinQUOTE=QUOTEsinB+QUOTEcosB=QUOTEsinQUOTE,因为QUOTE<B<QUOTE,所以QUOTE<B+QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE<QUOTE,b+c∈QUOTE.答案:QUOTE备选类型求解三角形面积问题(数学运算)【典例】(1)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.

(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=QUOTE,cos2A-cos2B=QUOTEsinAcosA-QUOTEsinBcosB.①求角C的大小;②若sinA=QUOTE,求△ABC的面积.【思路导引】(1)解题的关键有两个:一是将已知式利用正弦定理转化为边的等式,从而可获得边的关系,再利用余弦定理可获得A的大小;二是结合三角形的面积公式借助均值不等式求得bc的最值,从而得到面积的最值.(2)解题的关键是留意角大小的比较,从而得到cosA的值,然后再利用面积公式求解.【解析】(1)因为a=2,(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,所以(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)·c,所以a2-b2=c2-bc.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE,所以A=60°且b2+c2-4=bc,所以b2+c2-4=bc≥2bc-4,当且仅当b=c时等号成立.所以bc≤4,所以S△ABC=QUOTEbcsinA≤QUOTE,所以△ABC面积的最大值为QUOTE.答案:QUOTE(2)①由题意得QUOTE-QUOTE=QUOTEsin2A-QUOTEsin2B,即QUOTEsin2A-QUOTEcos2A=QUOTEsin2B-QUOTEcos2B,sinQUOTE=sinQUOTE.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-QUOTE+2B-QUOTE=π,即A+B=QUOTE,所以C=QUOTE.②由c=QUOTE,sinA=QUOTE,QUOTE=QUOTE,得a=QUOTE.由a<c,得A<C,从而cosA=QUOTE,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE,所以△ABC的面积为S=QUOTEacsinB=QUOTE.利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边角后,干脆求三角形的面积.(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量.(3)求三角形面积的最值或范围,这时一般要先得到面积的表达式,再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=QUOTE.(2)△ABC的面积S=QUOTEacsinB=QUOTEac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosQUOTE.又a2+c2≥2ac,故ac≤QUOTE,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为QUOTE+1.课堂检测·素养达标1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-QUOTE,则三角形的第三条边长为 ()A.52 B.2QUOTE C.16 D.4【解析】选B.设第三条边长为x,则x2=52+32-2×5×3×QUOTE=52,所以x=2QUOTE.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为QUOTE,则C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为a2+b2-c2=2abcosC,且S△ABC=QUOTE,所以S△ABC=QUOTE=QUOTEabsinC,所以tanC=1.又C∈(0,π),故C=QUOTE.3.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=.

【解析】由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos120°=a2+c2+ac,所以a2+c2+ac-b2=0.答案:04.在△ABC中,若b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,则a=.

【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,所以(QUOTE)2=a2+12-2a×1×cosQUOTE,所以a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,所以a=1,或a=-2(舍去).所以a=1.答案:15.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=QUOTEbc,sinC=2QUOTEsinB,则A=.

【解析】因为sinC=2QUOTEsinB,依据正弦定理QUOTE=QUOTE,所以可得c=2QUOTEb,依据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA由已知可得a2-b2=QUOTEbc,故可联立方程QUOTE解得cosA=QUOTE.由0<A<π,所以A=QUOTE.答案:QUOTE课时素养评价二余弦定理(15分钟30分)1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】选B.设中间角为θ,则θ为锐角,由余弦定理得cosθ=QUOTE=QUOTE,θ=60°,180°-60°=120°,所以三角形最大角与最小角的和是120°.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=QUOTE,c=2,cosA=QUOTE,则b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解析】选D.由余弦定理得5=b2+22-2×b×2×QUOTE,解得b=3QUOTE.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=QUOTE,则c等于 ()A.4 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】选D.由三角形内角和定理可知cosC=-cos(A+B)=-QUOTE,又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+4-2×3×2×QUOTE=17,所以c=QUOTE.【加练·固】若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满意(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为 ()A.QUOTEB.8-4QUOTEC.1D.QUOTE【解析】选A.由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,则ab+2ab=4,所以ab=QUOTE.4.(2024·天津高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=bcosA,a2+b2=c2+ab,则△ABC是 ()A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选D.依据正弦定理:acosB=bcosA,即sinAcosB=sinBcosA,即sinQUOTE=0,A=B;依据余弦定理及a2+b2=c2+ab,解得cosC=QUOTE,C∈QUOTE,故C=QUOTE.故△ABC是等边三角形.5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则QUOTE=.

【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=3,所以b=QUOTE,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.答案:26.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC-QUOTEasinC=bsinB,则B=.

【解析】由正弦定理得a2+c2-QUOTEac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,故cosB=QUOTE.又因为B为三角形的内角,所以B=45°.答案:45°(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·雅安高一检测)已知△ABC中,QUOTE=QUOTE,则B= ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选C.因为QUOTE=QUOTE,利用正弦定理角化边得QUOTE=QUOTE,所以(c-b)(c+b)=a(c-a),所以c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,所以QUOTE=QUOTE,依据余弦定理可得cosB=QUOTE=QUOTE,因为0<B<π,所以B=QUOTE.2.(2024·成都高一检测)在△ABC中,B=QUOTE,BC边上的高等于QUOTEBC,则sinA= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为在△ABC中,B=QUOTE,BC边上的高等于QUOTEBC,所以QUOTEBC=AB·sinB⇒AB=QUOTEBC×QUOTE=QUOTEBC,由余弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=QUOTEBC,故△ABC的面积为QUOTEBC·QUOTEBC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE·QUOTEBC·QUOTEBC·sinA,所以sinA=QUOTE.3.(2024·徐州高一检测)钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,可设a+2所对的角为C,且为最大,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由题意可得90°<C≤120°,则-QUOTE≤cosC<0,解得QUOTE≤a<3.4.(2024·海淀高一检测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2QUOTE-cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=1,则c的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.6【解析】选A.由2cos2QUOTE-cos2C=1,可得2cos2QUOTE-1-cos2C=0,则有cos2C+cosC=0,即2cos2C+cosC-1=0,解得cosC=QUOTE或cosC=-1(舍),由4sinB=3sinA,得4b=3a,①又a-b=1,②联立①,②得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcosC=16+9-12=13,则c=QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2024·清江高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若QUOTEtanB=QUOTEac,则角B的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选BD.依据余弦定理可知a2+c2-b2=2accosB代入化简可得2accosB·QUOTE=QUOTEac即sinB=QUOTE,因为0<B<π,所以B=QUOTE或B=QUOTE.6.(2024·本溪高一检测)三角形有一个角是60°,夹这个角的两边长分别为8和5,则 ()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3πD.三角形外接圆周长为QUOTEπ【解析】选BC.由余弦定理可得另一边长为QUOTE=7,则A错误,B正确.设内切圆半径为r,则QUOTE(8+7+5)r=QUOTE×8×5sin60°,则r=QUOTE,则内切圆面积为πr2=3π,则C正确.设外接圆半径为R,则2R=QUOTE,其周长为2πR=QUOTEπ,则D错误.【补偿训练】(2024·吴江高一检测)对于△ABC,有如下推断,其中正确的推断是 ()A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形B.若A>B,则sinA>sinBC.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B<sin2【解析】选BD.在△ABC中,对于A,若sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π.当A=B时△ABC为等腰三角形;当A+B=QUOTE时,△ABC为直角三角形,故A不正确,对于B,若A>B,则a>b,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即sinA>sinB成立.故B正确;对于C,由余弦定理可得b=QUOTE=QUOTE,只有一解,故C错误;对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理得a2+b2<c2,所以cosC=QUOTE<0,所以C为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故D正确;综上,正确的推断为选项B和D.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,a2-b2=QUOTEbc,sinC=2QUOTEsinB,则A=.

【解析】由sinC=2QUOTEsinB及正弦定理得c=2QUOTEb,把它代入a2-b2=QUOTEbc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为0°<A<180°,所以A=30°.答案:30°8.在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为.

【解析】设内角B,C所对的边分别为b,c.因为A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.由条件可知b+c=9,bc=8,所以BC2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=92-2×8-2×8×cos60°=57,所以BC=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】(2024·宁波高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-QUOTE,则sinC=;当a=2,2sinA=sinC时,则b=.

【解析】cos2C=1-2sin2C=-QUOTE,所以sin2C=QUOTE,因为0<C<π,所以sinC=QUOTE;所以cosC=±QUOTE,由正弦定理可知c=2a=4,所以c2=a2+b2-2abcosC,当cosC=QUOTE时,整理为b2-QUOTEb-12=0,即QUOTE=0,所以b=2QUOTE(负值舍去),当cosC=-QUOTE,整理为b2+QUOTEb-12=0,即QUOTE=0,所以b=QUOTE(负值舍去),所以b=2QUOTE或QUOTE.答案:QUOTEQUOTE或2QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sin