2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实二1.1.2空间向量基本定理含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(二)空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则()A．m，n，p共线 B．m与p共线C．n与p共线 D．m，n，p共面D[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．]2．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是()A．eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))B．eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up9(→))C．eq\o(OP,\s\up9(→))＝－eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up9(→))D．以上皆错B[∵eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up9(→))，∴3eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))，∴eq\o(OP,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))＝(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→)))＋(eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OP,\s\up9(→)))，∴eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→))，∴eq\o(PA,\s\up9(→))＝－eq\o(PB,\s\up9(→))－eq\o(PC,\s\up9(→))，∴P，A，B，C共面．]3．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up9(→))，eq\o(BM,\s\up9(→))，eq\o(BN,\s\up9(→))不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4D[依据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，明显②正确．③中由eq\o(BA,\s\up9(→))，eq\o(BM,\s\up9(→))，eq\o(BN,\s\up9(→))共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．下面证明①④正确．①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面与条件冲突．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．]4．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，则eq\o(AF,\s\up9(→))等于()A．eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up9(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up9(→))D[由条件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq\o(AF,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(A′E,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(A′D′,\s\up9(→))＋eq\o(A′B′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up9(→))．]5．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若i与j不共线，且存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj，则由共面对量定理，知i，j，k共面．若i与j不共线，且k与i，j共面，则存在唯一的一对实数m，n，使k＝mi＋nj，但m，n不肯定为非零常数．故选A．]二、填空题6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(AD,\s\up9(→))，eq\o(AA1,\s\up9(→))表示eq\o(OC1,\s\up9(→))，则eq\o(OC1,\s\up9(→))＝________．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))[eq\o(OC1,\s\up9(→))＝eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→)))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))．]8．如图在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up9(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up9(→))＝________．(用a，b，c表示)－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c[eq\o(B1M,\s\up9(→))＝eq\o(AM,\s\up9(→))－eq\o(AB1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→)))－(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AA1,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up9(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up9(→))；(2)eq\o(AM,\s\up9(→))；(3)eq\o(AN,\s\up9(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up9(→))．[解]连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c．(3)eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up9(→))＋eq\o(AD′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA′,\s\up9(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AD,\s\up9(→))＋2eq\o(AA′,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c．(4)eq\o(AQ,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CQ,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up9(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up9(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c．10．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1．(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AD,\s\up9(→))＋zeq\o(AA1,\s\up9(→))，求x＋y＋z的值．[解](1)证明：连接AC1(图略)．因为eq\o(AC1,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up9(→)))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BE,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→)))＝eq\o(AE,\s\up9(→))＋eq\o(AF,\s\up9(→))，所以eq\o(AC1,\s\up9(→))与eq\o(AE,\s\up9(→))，eq\o(AF,\s\up9(→))共面，又三者有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面．(2)因为eq\o(EF,\s\up9(→))＝eq\o(AF,\s\up9(→))－eq\o(AE,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))－(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BE,\s\up9(→)))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up9(→))＝－eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up9(→))，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝－1＋1＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)．1．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满意eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BB1,\s\up9(→))，eq\o(BF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))，eq\o(BG,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up9(→))，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设eq\o(BO,\s\up9(→))＝xeq\o(BG,\s\up9(→))＋yeq\o(BF,\s\up9(→))＋zeq\o(BE,\s\up9(→))，则x＋y＋z＝()A．eq\f(4,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(7,5) D．eq\f(8,5)B[因为eq\o(BO,\s\up9(→))＝xeq\o(BG,\s\up9(→))＋yeq\o(BF,\s\up9(→))＋zeq\o(BE,\s\up9(→))＝xeq\o(BG,\s\up9(→))＋yeq\o(BF,\s\up9(→))＋eq\f(3z,4)eq\o(BB1,\s\up9(→))，又O在平面B1GF内，所以x＋y＋eq\f(3z,4)＝1；同理可得eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＋z＝1．由O在平面B1BDD1内，易得x＝y，解得x＝y＝eq\f(1,5)，z＝eq\f(4,5)，所以x＋y＋z＝eq\f(6,5)，故选B．]2．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，则用向量eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OC,\s\up9(→))表示eq\o(OQ,\s\up9(→))，正确的是()A．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))B．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))C．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up9(→))D．eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))A[∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，∴eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→))，∴eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\o(MA,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up9(→))，∴eq\o(OQ,\s\up9(→))＝eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(MQ,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up9(→))．]3．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up9(→))＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则eq\o(EF,\s\up9(→))＝________．向量eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CD,\s\up9(→))，eq\o(EF,\s\up9(→))________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a－eq\f(5,2)b＋3c否[eq\o(EF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ED,\s\up9(→))＋eq\o(EB,\s\up9(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CB,\s\up9(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＝3a－eq\f(5,2)b＋3c．假设eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CD,\s\up9(→))，eq\o(EF,\s\up9(→))共面，则eq\o(EF,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→))＋μeq\o(CD,\s\up9(→))＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－eq\f(5,2)b＋3c．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋5μ＝3，,－5μ＝－\f(5,2)，,8μ－2λ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2).))∴eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CD,\s\up9(→))共面，∴不能构成一组基底．]4．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若eq\o(AP,\s\up9(→))＝xeq\o(AB,\s\up9(→))＋yeq\o(AD,\s\up9(→))＋zeq\o(AA1,\s\up9(→))，且0≤x≤y≤z≤1，则点P全部可能的位置所构成的几何体的体积是________．eq\f(1,6)[依据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满意0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD­A1C1D1内；满意0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1­BB1C1内，故同时满意0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A­A1C1D1，其体积是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6