2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题15椭圆学案文含解析

PAGE专题15椭圆1.椭圆中的焦点三角形焦点三角形为以椭圆两焦点与椭圆上一点为顶点的三角形,通常考查面积问题、离心率问题.涉及焦点三角形问题,通常用正余弦定理解答.2.椭圆中的通径为过焦点的垂线段,长度为QUOTE.3.椭圆的对称性椭圆是轴对称图形也是中心对称图形,过原点的直线y=kx与椭圆的交点坐标通常设为QUOTE与QUOTE.1.应留意椭圆的定义中的常数大于|F1F22.求椭圆方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而且无法确定其标准方程时,设方程为QUOTE+QUOTE=1QUOTE可以避开探讨和烦琐的计算,也可以设为Ax2+By2=1QUOTE,这种形式在解题中更简洁.3.求椭圆离心率的常用方法(1)公式法:求得a,c的值,代入公式e=QUOTE,进行求解;(2)解齐次方程法:列出关于a,b,c的齐次方程,然后依据b2=a2-c2,消去b,转化成关于e的方程求解.1.简洁忽视推断两种标准方程的形式,其方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.【案例】T3.QUOTE+x2=1QUOTE中,y2的分母比较大,故焦点在y轴上,作图时须要留意.2.简洁忽视椭圆上的点PQUOTE中x的范围为QUOTE≤a.【案例】T6,设椭圆上点MQUOTE时,应留意x的范围为0<x<2.3.椭圆方程未知时,简洁忽视a2>b2>0的条件.【案例】T7.椭圆QUOTE+QUOTE=1,则m>0且m≠3.考向一求椭圆的方程【典例】(2024·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ()A.QUOTE+y2=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1考向二椭圆与抛物线的综合问题【典例】(2024·全国Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点①是椭圆QUOTE+QUOTE=1的一个焦点②,则p=()A.2 B.3 C.4 D.8①依据抛物线定义求出抛物线焦点②求出椭圆的一个焦点,与①的结论联立,可求出p1.方程QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,k>0且k≠1)与方程QUOTE+QUOTE=1QUOTE表示的椭圆,它们 ()A.有相同的离心率 B.有共同的焦点C.有等长的短轴、长轴 D.有相同的顶点2.已知椭圆QUOTE+QUOTE=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则圆O的半径为 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.23.已知椭圆QUOTE+x2=1QUOTE的离心率e=QUOTE,P为椭圆上的一个动点,若定点BQUOTE,则QUOTE的最大值为 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.34.已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>0,b>0)的离心率为QUOTE,直线y=kx与该椭圆交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于 ()A.±QUOTE B.±QUOTEC.±QUOTE D.±25.已知F1,F2分别为椭圆QUOTE+QUOTE=1的左、右焦点,M是椭圆上的一点,且在y轴的左侧,过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线,垂足为N,若QUOTE=2(O为坐标原点),则QUOTE-QUOTE等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.QUOTE6.已知M为椭圆QUOTE+QUOTE=1上一点,N为椭圆长轴上一点,O为坐标原点,有下列结论:①存在点M,N,使得△OMN为等边三角形;②不存在点M,N,使得△OMN为等边三角形;③存在点M,N,使得∠OMN=90°;④不存在点M,N,使得∠OMN=90°.其中,全部正确结论的序号是 ()A.①④ B.①③ C.②④ D.②③7.若直线y=x+2与椭圆QUOTE+QUOTE=1有两个公共点,则m的取值范围是 ()A.m>1 B.m>1且m≠3C.m>3 D.m>0且m≠38.已知点P是椭圆QUOTE+QUOTE=1上一点,F是椭圆的一个焦点,PF的中点为Q,O为坐标原点,若QUOTE=1,则QUOTE= ()A.3 B.4 C.5 D.69.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的左焦点为F,过原点的直线l与椭圆C交于A,B不同的两点,且AF⊥BF,延长AF,交椭圆C于点D,若QUOTE=2QUOTE,则椭圆C的离心率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE10.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的左、右焦点分别为F1,F2,F2也是抛物线E:y2=2pxQUOTE的焦点,点A为椭圆C与抛物线E的一个交点,且直线AF1的倾斜角为45°,则椭圆C的离心率为 ()A.QUOTE B.QUOTE-1 C.3-QUOTE D.QUOTE+1专题15椭圆///真题再研析·提升审题力///考向一B如图,由已知可设QUOTE=n,则QUOTE=2n,QUOTE=QUOTE=3n,由椭圆的定义有2a=QUOTE+QUOTE=4n,所以QUOTE=2a-QUOTE=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=QUOTE=QUOTE.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·QUOTE=4,解得n=QUOTE.所以2a=4n=2QUOTE,所以a=QUOTE,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1.考向二D因为椭圆的焦点为(±QUOTE,0),抛物线的焦点为QUOTE,由已知可得QUOTE=QUOTE,解得p=8.///高考演兵场·检验考试力///1.A对于椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,k>0且k≠1),设a′=QUOTE=QUOTEa,b′=QUOTE=QUOTEb,c′=QUOTE=QUOTE,则椭圆QUOTE+QUOTE=1的离心率为e′=QUOTE=QUOTE=QUOTE,焦点坐标为QUOTE,短轴长为2QUOTEb,长轴长为2QUOTEa,顶点坐标为QUOTE和QUOTE;对于椭圆QUOTE+QUOTE=1QUOTE,离心率为e=QUOTE=QUOTE,焦点坐标为QUOTE,短轴长为2b,长轴长为2a,顶点坐标为QUOTE和QUOTE.因此,两椭圆有相同的离心率.2.B因为椭圆QUOTE+QUOTE=1,不妨设F(QUOTE,0),P(0,QUOTE),所以PF的方程为x+y-QUOTE=0,因为直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即R=d=QUOTE=1.3.C由题意可得:QUOTE=QUOTE,据此可得:a2=5,椭圆方程为QUOTE+x2=1,设PQUOTE,则y2=5QUOTE,故QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,当x=QUOTE时,QUOTE=QUOTE.4.A联立QUOTE⇒(b2+a2k2)x2=a2b2,则x=±QUOTE,由题意知QUOTE=c①,因为e=QUOTE=QUOTE,所以a=2c,b=QUOTE=QUOTEc,代入①可得QUOTE=c2⇒k=±QUOTE.5.A延长F2N交MF1的延长线于点P,作图如下:因为MN为∠F1MF2的平分线,且F2N⊥MN,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE,因为O,N分别为F1F2,F2所以ON为△PF1F2所以QUOTE=QUOTE=2,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE=2QUOTE=4.6.A过原点且倾斜角为60°的直线肯定与椭圆有交点,假设y轴右侧的交点是M,在长轴上取ON=OM(ON在y轴右侧),则△OMN就是等边三角形,故①正确,②错误;若点M和点N在y轴两侧,则∠OMN肯定是锐角,若点M和点N在y轴同侧,不妨设为在y轴右侧,设点MQUOTE,则y2=3-QUOTEx2,且0<x<2,由椭圆性质可知,当点N是长轴端点时,∠OMN最大,因为QUOTE=x2+y2,QUOTE=(x-2)2+y2,QUOTE=4,所以QUOTE+QUOTE=x2+y2+(x-2)2+y2=2x2+2y2-4x+4=QUOTE(x-4)2+2∈QUOTE,所以QUOTE+QUOTE>QUOTE,即∠OMN<90°,故③错误,④正确.7.B椭圆QUOTE+QUOTE=1,则m>0且m≠3,而直线y=x+2与椭圆QUOTE+QUOTE=1有两个公共点,联立QUOTE化简可得QUOTEx2+4mx+m=0,所以Δ=QUOTE-4mQUOTE=12mQUOTE>0,可得m>1或m<0,又因为m>0且m≠3,所以m>1且m≠3.8.D设左焦点为F,右焦点为E,因为PF的中点为Q,EF的中点为O,所以QUOTE=2QUOTE=2,又QUOTE+QUOTE=8,所以QUOTE=6.9.C设椭圆C的右焦点为F′,连接AF′,BF′,如图所示,设QUOTE=2m,则QUOTE=m,QUOTE=2a-2mQUOTE=2a-m.由题意可知四边形AFBF′是矩形,则QUOTE解得QUOTE故椭圆C的离心率是QUOTE=QUOTE