2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1-3.1.2导数的概念课时跟踪训练含解析新人教A版选修1-1

PAGE导数的概念[A组学业达标]1．函数y＝f(x)，自变量x由x0变更到x0＋Δx时，函数的变更量Δy等于()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：∵自变量x由x0变更到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.答案：D2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变更率为()A．2.1 B．1.1C．2 D．0解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1.1－f1,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.答案：A3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A.eq\f(123,16)米/秒 B.eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D.eq\f(67,4)米/秒解析：∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt)，∴eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝8－eq\f(3,16)＝eq\f(125,16).答案：B4．做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是s＝3t－t2，则它的初速度是()A．0 B．3C．－2 D．3－2t解析：初速度即为t＝0时的瞬时速度，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(3Δt－Δt2,Δt)＝3－Δt，当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于3，故它的初速度为3.答案：B5．已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．－4 B．2C．－2 D．±2解析：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,mm＋Δx)，∴f′(m)＝eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(－2,mm＋Δx)＝－eq\f(2,m2)，∴－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝±2.答案：D6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，则三者的大小关系为________．解析：由图象知eq\x\to(v)1＝kOA，eq\x\to(v)2＝kAB，eq\x\to(v)3＝kBC，kOA<kAB<kBC，所以eq\x\to(v)1<eq\x\to(v)2<eq\x\to(v)3.答案：eq\x\to(v)1<eq\x\to(v)2<eq\x\to(v)37．已知函数y＝－x2＋x的图象上一点A(－1，－2)及邻近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)＝________.解析：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－－1＋Δx2＋－1＋Δx－－2,Δx)＝eq\f(－Δx2＋3Δx,Δx)＝－Δx＋3，∴eq\f(Δy,Δx)为3－Δx.答案：3－Δx8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．解析：∵f′(1)＝lieq\o(m,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(a1＋Δx＋3－a＋3,Δx)＝a∴f′(1)＝a＝3.答案：39．已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．解析：该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt，则该物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(Δt2＋4Δt,Δt)＝4＋Δt.10．一辆汽车按s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.解析：∵s＝at2＋1，∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4aΔt＋aΔt2,Δt)＝4a＋aΔt.当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于4a.依题意有4a＝12，∴a＝3.[B组实力提升]11．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(f2－f2＋Δx,2Δx)＝()A．－2f′(2) B．2fC．－eq\f(1,2)f′(2) D.eq\f(1,2)f′(2)解析：因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(f2－f2＋Δx,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(2)．答案：C12．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为()A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4解析：因为v＝eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\f(－4t＋Δt2＋16t＋Δt－－4t2＋16t,Δt)＝－8t＋16－4Δt，当Δt趋近于0时，v无限趋近于－8t＋16，所以由－8t＋16＝0，得t＝2.答案：B13．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变更率为2，则t＝________.解析：函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变更率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(ft－f－2,t－－2)＝eq\f(t2－t－－22－2,t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变更率是2时，t的值是5.答案：514．对于函数y＝eq\f(1,x2)，其导数值等于函数值的点是________．解析：设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由题意知f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，从而y0＝eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))15．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变更率不大于－1，求Δx的取值范围．解析：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变更率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2＋2＋Δx－－4＋2,Δx)＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．16．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．解析：由导数的定义知，f′(x0)＝eq\o(lim,\s\up10(),\s\do14(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0，g′(x0)＝eq\o(