考点02平面向量的数量积及其应用8种常见考法归类-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)（原卷版）

考点02平面向量的数量积及其应用8种常见考法归类1、向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为）(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．2、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.3、解决向量垂直问题一般思路解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.4、求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．5、解决向量投影问题应注意以下三点(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).考点一向量数量积概念辨析1．（2023·高一课时练习）给出以下结论：①；②；③；④或；⑤．其中正确的序号是______．2．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）关于平面向量，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则 D．3．（2022春·山东·高一阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．向量满足B．若向量满足，则C．若向量，则D．对任意两向量，则与是相反向量4．（2022·全国·高二专题练习）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角C．与的夹角是锐角 D．与的夹角是钝角6．（2023·高一课时练习）已知是非零向量，是向量的夹角，“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件考点二向量数量积的运算（一）向量数量积的简单计算7．（2022秋·江苏泰州·高三姜堰中学校联考阶段练习）已知，，均为单位向量，且，则（

）A． B． C． D．8．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知向量的夹角为，且，，则（

）A． B． C． D．19．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则______.10．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求：(1)；(2)；(3)．（二）平面几何图形中的向量的数量积的计算11．（2022·高二课时练习）在中，，，，求，，的值.12．（2023·高一课时练习）在中，，，，则________．13．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）在中，分别为的中点，则__________.14．（2022·全国·高三专题练习）在中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.15．（2023秋·河南·高三校联考期末）已知等边的边长为是边上的中点，则__________．16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中阶段练习）在中，，，，为的外心，则（

）A．5 B．2 C． D．考点三利用向量数量积判断平面图形形状17．（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在中，若，则此三角形为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形18．（2022春·高一课时练习）在中，，，当时，判断的形状．19．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形20．（2022·高一课时练习）在中，，且，则的形状是______．21．（2023·高一课时练习）已知满足，则的形状一定是______．22．（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形23．（2022春·山东济宁·高一统考期中）平面上四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是____________．24．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考期中）四边形满足：，，则该四边形的形状是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形考点四向量数量积的最值问题25．（2022·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值是___________.26．（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知三个单位向量，，满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．27．（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．28．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）平面向量，满足，与的夹角为，记，当取最小值时，___________.29．（2022·全国·高三专题练习）已知是边长为2的正六边形边上一动点，则（

）A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是30．（2022春·北京海淀·高一北京交通大学附属中学校考阶段练习）若，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．31．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的最小值为_________．考点五向量的模32．（2022秋·云南临沧·高二校考期末）已知向量，的夹角为60°，，，则___________.33．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知向量夹角为，且，，则______．34．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知向量，满足：，，，则__________.35．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为135°，求的值．36．（2022秋·江西上饶·高三校联考阶段练习）若平面向量两两的夹角相等且不为，且，，则____________37．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知平面向量满足，则的最小值为___________.38．（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.考点六向量的垂直问题39．（2022秋·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______.40．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，若，则______.41．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知单位向量、的夹角为，与垂直，则___________.42．（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知向量、是夹角为的两个单位向量，向量与向量垂直，则实数______．43．（2022·四川德阳·统考一模）已知,是单位向量，且，若，那么当时，______．考点七向量的夹角问题44．（2022·高一单元测试）在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．45．（2023·全国·模拟预测）若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．46．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知向量，满足，，且，则夹角的余弦值为___________.47．（2022秋·山东东营·高三胜利一中校考期末）已知均为非零向量，且，则向量与的夹角为____________．48．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为______．49．（2023·全国·高三专题练习）若且，则向量与的夹角为（

）A． B．C． D．50．（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.51．（2022秋·山东泰安·高三校考期中）设两个向量满足，.(1)若，求的夹角；(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.52．（2023·高三课时练习）已知向量、满足，，且，则与的夹角的取值范围是______.考点八向量的投影问题求向量的投影53．（2023·全国·模拟预测）平面上有两个非零向量和，则“在方向上投影大于0”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件54．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.55．（2022春·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是______．56．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.57．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.58．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为______．求向量的投影向量59．（2022·高一课时练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12