高一下册数学期中模拟卷（必修二前三章）2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019）

高一下册数学期中模拟卷（人教A版（2019）必修第二册前三章）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解.【详解】由，可得，故复数对应的点位于第四象限，故选：D2．已知向量，满足，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】计算出，，再利用夹角公式求解即可.【详解】由，，两式相加，得，所以，，所以，所以.故选：A．3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】运用正弦定理求解.【详解】根据正弦定理有，得；故选：D.4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；当，，时，必有，从而，故选项C正确；在如图所示的正方体中，取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项D错误；故选：C.5．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】画出满足题意的正四棱台，如图所示，则．过点D作于点E，则，所以该正四棱台的体积为．故选：C6．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.【详解】因为是单位向量，且的夹角为，所以，又，所以，又，所以，所以.故选：C.7．在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出外接圆，三棱锥的外接球的半径，再由平面时，三棱锥体积取最大值，从而由公式得出体积.【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的半径为.因为三棱锥的外接球的表面积为100π，所以，三角形ABC的外接圆半径为，三棱锥体积取最大值时，平面，此时，最大值为：.故选：B8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．【详解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即当且仅当时，即，，时取等号，,则，所以面积的最大值.故选：B选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（

）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【答案】ABC【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，由于是的中点，所以，C选项正确.根据正方体的性质可知平面，由于平面，所以，所以，A选项正确.由于，所以，B选项正确.由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.故选：ABC10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（

）A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数C．的模长等于 D．的共轭复数为【答案】D【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.【详解】对于A：，对应的点位于第二象限，故A正确；对于B：，为纯虚数，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.故选：D.11．下列说法正确的有（

）A．已知，若与共线，则B．若，，则C．若，为锐角，则实数的范围是D．若，则一定不与共线【答案】AC【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；举例说明判断BD；利用向量数量积结合向量共线计算判断C作答.【详解】对于A，，与共线，则，解得，A正确；对于B，当时，满足，，而向量与可以不共线，B错误；对于C，，为锐角，则，且与不共线，即，且，解得，C正确；对于D，若，，满足，而与共线，D错误.故选：AC12．如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（

）A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B．当天10:00时，该船距离观测点CkmC．当船行驶至B处时，该船距观测点CkmD．该船在由A行驶至B的这5min内行驶了km【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正确.故选：ABD．三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为，，所以向量在方向的投影向量为.故答案为：14．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.【详解】设，连接，平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案为：.15．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_______．【答案】【分析】根据给定等式求出三角形的内角C，再利用正弦定理及三角恒等变换、三角函数性质求解作答.【详解】因，显然，，锐角中，，，则，令，由得：，由正弦定理得，，因此，而，则，即有，所以的取值范围为.故答案为：.16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）【答案】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，相应圆台的体积为，所以，解得，故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知复数为纯虚数，且为实数.(1)求复数；(2)设，，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）求出，结合在复平面内对应点所在象限，求出范围，结合模的计算求得答案.【详解】（1）设，且，则.又∵为实数，∴，即.（2）由（1）得，由题知且，解得.又∵，∴.∴，即的取值范围是.18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．条件①：；条件②：．【答案】(1)(2)见解析.【分析】（1）根据正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；（2）对于条件①可得，进而或，不符合题意；条件②代入，即可求出，再利用面积公式即可求出结果.【详解】（1）在中，，由及正弦定理得，由余弦定理得，化简得，所以，结合，得．（2）若增加条件①：，．因为，由，得，或，所以不能唯一确定，不合题意．若增加条件②：．将代入，得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．由，得．所以．19．在棱长为1的正方体中，，分别为棱和的中点．(1)求异面直线与所成的余弦值；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答.（2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答.【详解】（1）在正方体中，连接，如图，因为，分别为棱和的中点，则，因此四边形是平行四边形，则，即是异面直线与所成的角或其补角，在中，，而正方体的体对角线，由余弦定理得：，所以异面直线与所成的余弦值为（2）在正方体中，平面，而的面积，所以三棱锥的体积.20．已知点G在内部，且，(1)求证：G为的重心；(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别取BC的中点D，整理可得，即可得结果；（2）根据已知得出，根据题意结合M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，可得x,y的关系，再结合基本不等式即可得解.【详解】（1）设BC的中点为D，则，即，∴点G在的中线AD上，且满足，故G为的重心.（2）由点G为的重心，则，∵三点共线，则，且，由题意可得：，则，消去可得，∵点M，N分别在边AB，AC上，则，可得，当且仅当时，等号成立，解得，故的最小值为.21．已知，设函数．(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．【答案】(1)时最大值0；时最小值；(2)或．【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得，由正弦型函数的性质求的最值；（2）由已知及三角形内角性质得，法一：应用余弦定理列关于的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得或，分别求出对应的值即可.【详解】（1）由题知：，，则，故，∴当，即，得时取得最大值0，当，即，得时取得最小值．（2）由，即，又，则．法一：由余弦定理A得：，解得：或．法二：由正弦定理有，则或，当时，，由勾股定理有；当时，，则；综上所解：或．22．图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证