921总体取值规律的估计精讲

9.2.1总体取值规律的估计(精讲）一、必备知识知识点1：频率分布表与频率分布直方图（1）频数与频率将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小.（2）样本的频率分布及频率分布表根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况）就叫做样本的频率分布.为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表.分组、频数、频率是频率分布表中最基本也是必要的三列，在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通常频率分布表中还会有“频数累计”一列.（3）用样本的频率分布估计总体的分布在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述的是总体在各个范围内个体的百分比).总体分布一般不好直接获得，往往通过样本的频率分布估计总体分布.用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法误区.（4）样本的频率分布直方图为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图.画图时，应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这样得到的直方图就是频率分布直方图.（5）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．③将数据分组．④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是eq\f(第i组频数,样本容量).⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示eq\f(频率,组距).eq\f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．知识点2：统计图表（1）条形统计图用单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样的统计图称为条形统计图.优点：条形统计图不但可以直观地反映数据分布的大致情况，还可以清晰地表示出各个区间的具体数目，易于比较数据间的差别.缺点：会损失数据的部分信息且不能明确显示部分与整体的关系.（2）折线统计图建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表达和分析数据的统计图称为折线统计图.优点：折线统计图不但可以表示数量的多少，而且能够用折线的起伏清楚直观地表示数量的增减变化的情况.缺点：不能直观反映数据的分布情况且不适合总体分布较多的情况.（3）扇形统计图扇形统计图中，用整个圆面积代表总体，圆内的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小.优点：扇形统计图可以很清楚地表示各部分与总体之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.缺点：会丢失部分数据信息且不适合总体中部分较多的情况.二、重点题型题型1:列频率分布表、绘制频率分布直方图和频率分布折线图1．（2021·全国·高一课时练习）对某种电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表：寿命/h1000~20002000~30003000~40004000~50005000~6000个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率直方图和折线图；【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（1）解：根据题目中的数据，计算每一小组的频率，完成频率分布表如下：分组频数频率

2030804030合计（2）解：画出频率分布直方图如下：2．（2021·全国·高一课时练习）下面是某市9月26日和9月29日市区出现堵车的时刻，试列出这两天的堵车时刻的频率分布表和频率直方图，并分析该市每天大约在什么时间段是行车高峰期.9月26日8:018:029:309:319:5110:2410:5111:2115:5216:3017:2917:3018:0418:229月29日8:298:328:339:299:5810:1410:3311:4314:0016:0816:2916:5416:5517:0518:0818:09【答案】答案见解析【详解】根据已知数据可得频率分布表如下：分组频数频率频率/组距合计作出频率分布直方图如图所示：由频率分布直方图可以看出大约每天的到与到是行车高峰期.3．（2021·全国·高一课时练习）从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：分组[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人数58102233分组[142,146)[146,150)[150,154)人数201165（1）列出频率分布表；（2）画出频率直方图；（3）画出频率折线图；（4）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.【答案】（1）频率分布表见解析（2）频率直方图见解析（3）频率折线图见解析（4）19%（1）频率分布表如下表所示：分组频数频率[122,126)50.040.01[126,130)80.070.0175[130,134)100.080.02[134,138)220.180.045[138,142)330.280.07[142,146)200.170.0425[146,150)110.090.0225[150,154)60.050.0125[154,158)50.040.01合计12010.25（2）（3）（4）由频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以身高小于134cm的人数约占总人数的19%.4．（2021·全国·高一课时练习）从大量棉花中抽取50根棉花纤维，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如下：，3；，8；，9；，11；，10；，5；，4.（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率直方图和折线图；（3）估计纤维长度小于36的百分比.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）（1）根据已知数据可得频率分布表如下：分组频数频率30.0680.1690.18110.22100.250.140.08合计501（2）频率分布直方图如下：折线图如下：（3）区间的组中值为36，所以可估计纤维长度小于36的百分比为.题型2：频率分布直方图的应用1．（2021·贵州金沙·高二阶段练习）“一切为了每位学生的发展”是新课程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．新高考模式下，学生是否选择物理为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．某校为了解高一年级600名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这600名学生中物理测试成绩在内的频数，并且补全这个频率分布直方图；（2）学校建议本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值．（结果精确到0.1）【答案】（1）频数为，作图见解析（2）（1）解：由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为:，所以这600名学生中物理成绩在内的频数为，补全的频率分布直方图如图所示：（2）学生物理测试成绩在的频率为，物理测试成绩在的频率为．故要使高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，则，且，解得．2．（2021·江西省乐平中学高一阶段练习）截至2021年6月，我国网上外卖用户规模达4.69亿．与此同时，外卖行业与骑手权益保障也受到社会广泛关注，行业生态环境持续改善，推动外卖行业健康长远发展．某外卖平台为了优化某地区的外卖配送系统，从该平台在该地区已完成的订单中随机抽取200个订单，统计外卖骑手的送餐距离（单位：千米）．将所得数据按照，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）估计该平台该地区的外卖骑手的送餐距离小于3千米的频率；（2）如果该平台考虑对该地区送餐距离较远的20%的外卖骑手，每笔订单补贴一定金额，那么该平台需要考虑的是送餐距离超过多少千米的外卖骑手？（结果保留一位小数）【答案】（1）0.6（2）3.7千米（1）由，解得．所以该平台该地区的外卖骑手的送餐距离小于3千米的频率为．（2）由频率分布直方图可得，最后1组的频率为0.1，后2组的频率之和为．设送餐距离较远的20%的外卖骑手对应的距离为千米，则．所以，解得．故该平台需要考虑的是送餐距离超过3.7千米的外卖骑手．3．（2020·陕西·西乡县教学研究室高一期末）由于受新冠病毒引发的肺炎疫情影响，某校为调查高一学生“停课不停学”、在家体能训练状况，现抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）求第二小组的频率；（2）求样本容量；（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？【答案】（1）（2）150（3）88%.（1）解：由于每个长方形的面积即为本组的频率，设第二小组的频率为，则.解得.∴第二小组的频率为.（2）解：设样本容量为，则，∴.（3）解：由(1)和直方图可知，次数在110以上的频率为.由此估计全体高一学生的达标率为88%.题型3：条形统计图的应用1．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期末）某店根据销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该店月的销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题：（1）该店三月份的销售额为多少万元？（2）该店一月份音乐的销售额为多少万元?（3）小刚观察图②后，认为四月份音乐的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由．【答案】（1）60万元；（2）19.55万元；（3）不同意，理由见解析.【详解】（1）由已知及图1知，3月份销售额为万元（2）由图1及图2知，1月份音乐销售额为万元（3）由图1及图2知，3月份音乐销售额为：万元4月份音乐销售额为：万元，4月份音乐销售额比3月份音乐销售额增加了，所以不同意小刚的看法.2．（2020·浙江·高一开学考试）某校为了提高学生的实践能力，开展了手工制作比赛.已知参赛作品分数记为分（），校方在参赛作品中随机抽取了50件作品进行质量评估，分数情况统计表和统计图如图所示：手工制作比赛作品分数情况频数分布表手工制作比赛作品分数情况频数分布直方图根据以上信息解答下列问题：手工制作比赛作品分数情况频数分布表分数段频数频率150.3220.20.06合计501（1）频数分布表中的值为；（2）补全频数分布直方图；（3）本次比赛校方共收到参赛作品800件，若80分以上（含80分）的作品将被展出，试估计全校将展出的作品数量.【答案】（1）；（2）图见解析；（3）208件.【详解】解：（1）c＝22÷50＝0.44，故答案为：0.44；（2）a＝50×0.2＝10，b＝50×0.06＝3，补全的频数分布直方图如图所示；（3）800×（0.2+0.06）＝208（件），即全校将展出的作品有208件.3．（2021·全国·高一课时练习）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）求抽取的学生数；（2）若该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．【答案】（1）300（2）1060（3）15%（1）从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，由于该校有3000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有×3000＝1060(人)．（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%．4．（2021·全国·高一课时练习）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（1）求样本中患病者的人数和图中，的值；（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.【详解】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.，.（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，因此判断错误的概率为.题型4：折线统计图与扇形统计图的应用1．（2021·贵州金沙·高二阶段练习）某食品公司为了调查消费者对某款新食品的认可情况，随机抽取了100位消费者进行食品认可度（共设，，，四个等级）的调查，每位被调查的消费者均对该食品认可度等级进行了评定，调查的结果如下图（表）：男性消费者认可度等级频数频率级180.3级240.4级级（1）求，，的值，并求被调查者中，认可度等级为级的女性消费者人数；（2）公司计划按性别采用分层抽样的方法从认可度等级为级或级的消费者中选取11人派送礼品，分别求被选中的男性消费者人数和女性消费者人数．【答案】（1）；；；认可度等级为级的女性消费者人数为14；（2）被选中的男性消费者人数为7，女性消费者人数为4.（1）由表可知，，即．由题可得男性消费者人数为，所以，，被调查者中，女性消费者人数为，故认可度等级为级的女性消费者人数为.所以，，，认可度等级为级的女性消费者人数为14；（2）由题可知认可度等级为级或级的男性消费者有人，认可度等级为级或级的女性消费者有人，从中选取11人，则被选中的男性消费者人数为，女性消费者人数为．2．（2019·全国全国·高一专题练习）某校为了解2017年高一年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如表的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）1288048（1）求表格中字母的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数；（2）该校2017年高一年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？【答案】（1）72°；（2）800本．【详解】（1）观察统计图表可知：科普类有128册，占40%，∴借阅总册数为128÷40%=320（本），∴m=320–128–80–48=64；教辅类的圆心角为：360°×=72°；（2）设高一年级500名学生借阅教辅类书籍x本，根据题意得，解得x=800，∴估计高一年级500名学生中共借阅教辅类书籍800本．3．（2021·全国·高一课时练习）小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息，回答以下问题：（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？【答案】（1）每隔6小时给小明测量一次体温；（2）最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度；（3）病情在好转；（4）最快可以在9月10凌晨6时出院.（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.