第21讲数列求和（原卷版）

专题21数列求和方法总结：1.等差数列求和公式：2.等比数列求和公式：3.错位相减法：特点：等差等比对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和4.裂项相消：特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。例：可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加5.分组求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和6.倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，典型例题：例1．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.例2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根．(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．例3．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知成等差数列.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和.例4．（2022·福建福州·高三期末）设数列是首项为1的等差数列，若是，的等比中项，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项的和.例5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且组成等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，求证：．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和.例8．（2022·江西九江·一模（文））已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为.(1)求证：数列为等比数列；(2)求.过关练习：一、单选题1．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知数列满足，则（

）A． B． C． D．2．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则T20的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））定义为n个正数u1，u2，u3，…，un的“快乐数”.若已知正项数列{an}的前n项的“快乐数”为，则数列的前2022项和为（）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.5．（2022·全国·模拟预测）已知数列、，，，其前项和分别为，，记最接近的整数为，则______．6．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））数列已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为_____．7．（2022·全国·高三专题练习（理））数列的通项公式为，前项和为，则＝________.8．（2022·浙江·模拟预测）数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为__________．9．（2022·福建福州·高三期末）函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为___________.三、解答题10．（2022·四川·模拟预测（理））给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.(1)求数列的通项公式；(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知数列的通项公式为(1)求数列的前项和；(2)设，求数列的前项和．12．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知数列满足，．(1)求证：数列是等差数列；(2)令，求数列的前n项和．13．（2022·全国·模拟预测）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和．14．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前2n－1项和.15．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．（2022·湖北·高三开学考试）已知在数列中，.(1)求数列的前项和；(2)设，求数列的项的和.17．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．18．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且对任意的有.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.19．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，.(1)求，的通项公式；(2)设，，求证：.20．（2022·广东中山·高三期末）已知数列满足，且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式：(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.21．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，，成等比数列，．(1)证明：数列是等比数列；(2)求及数列的通项公式；(3)若，求数列的前n项和22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，(1)证明：是等比数列；(2)若，求数列的前n项和Sn.23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））已知等比数列的前n项和为（b为常数）．(1)求b的值和数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．24．（2022·广东高州·二模）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．25．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知数列的首项，数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式．(2)设数列的前n项和为，证明：．26．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：①；②是等差数列；③(1)从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；(2)利用（1）中的条件，证明数列的前项和.27．（2022·山东潍坊·高三期末）已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前101项和．28．（2022