7273离散型随机变量的分布列与数字特征（原卷版）

7.2离散型随机变量及其分布列7.3离散型随机变量的数字特征目录TOC\o"11"\h\u一、随机变量的概念理解 1二、离散型随机变量的分布列及两点分布 2三、分布列的性质及应用 4四、离散型随机变量的均值 6五、离散型随机变量的方差 10六、均值与方差的性质 12七、均值与方差的实际应用与方案设计问题 14八、课后巩固练习（目录可自行删除）一、随机变量的概念理解①随机变量特点：随着试验结果的变化而变化的变量．表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．②离散型随机变量的特点：所有取值可以一一列举出来．1、判断下列哪些变量是离散型随机变量，是的打“√”，错的打“×”(1)某机场一年中每天运送乘客的数量（）(2)某单位办公室一天中接到的次数（）(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数（）(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.（）(5)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度.（）(6)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差。（）二、离散型随机变量的分布列及两点分布分布列定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1.两点分布:若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．注意点：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．解题步骤：(1)随机变量的取值列举出来．(2)把每一个取值所对应的概率求出来．(3)把所有的随机变量对应概率之和是否为1来检验．2、某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．3、已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．4、从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．5、北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量12311从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．三、分布列的性质及应用离散型随机变量分布列的性质的应用①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．②若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，即随机变量经过计算还是随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．6、设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101Peq\f(1,3)2－3qq2则q的值为()A．1 B．eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C．eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D．eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)7、离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,n(n＋1))(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2))的值为________．8、一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤ξ≤\f(5,3)))＝________.9、设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)P(1＜X≤4)．10、设随机变量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5))).四、离散型随机变量的均值均值（数学期望）：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．11、从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值．12、在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，针尖向上，,0，针尖向下.))如果针尖向上的概率为eq\f(2,5)，那么试写出随机变量X的分布列并求其均值．13、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？14、某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．15、某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值．五、离散型随机变量的方差方差：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝(x1－E(X))2_p1_＋(x2－E(X))2_p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．16、(多选)下列说法中错误的是()A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值17、(多选)下列说法正确的是()A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定B．若a是常数，则D(a)＝0C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小18、设离散型随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则D(X)等于()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)Ceq\f(179,144)D.eq\f(17,12)19、已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)20、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．六、均值与方差的性质均值性质：若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，Y也是随机变量，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b.方差性质：若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，Y也是随机变量，则D(aX＋b)＝a2D(X)21、设ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A.eq\f(7,6)B.eq\f(17,6)C.eq\f(17,3)D.eq\f(32,3)22、已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为()ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)23、设随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)若Y＝2X＋2，则D(Y)等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,9) D.eq\f(20,9)24、已知X的分布列如表所示：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．七、均值与方差的实际应用与方案设计问题均值、方差在实际应用中的作用均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．注意在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．25、受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如表所示：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．26、某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：等级珍品特级优级一级箱数10151510(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：等级珍品特级优级一级售价(元/kg)25201510从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？27、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区：ξ0123P0.30.30.20.2乙保护区：η012P0.10.50.4试评定两个保护区的管理水平．28、某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000,6000,2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：工种类别ABC赔付频率eq\f(1,105)eq\f(2,105)eq\f(1,104)已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)求保险公司在该业务所获利润的均值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．29、某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(7,12)，eq\f(1,6)，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．(1)求a，b，c的值；(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．30、为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(Ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率；(Ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．课后巩固练习1、已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则其均值E(ξ)等于()ξ135P0.5m0.2A.1B．0.6C．2＋3mD．2.42、由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：X1(甲得分)012P(X1＝xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2＝xi)0.30.30.4现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好()A．甲 B．乙C．甲、乙均可 D．无法确定3、已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝eq\f(1,4)，P(X＝a)＝eq\f(3,4)，E(X)＝eq\f(7,4)，则D(2X－1)等于()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5) D.eq\f(5,6)4、(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则()X4a9P0.50.1bA.a＝7 B．b＝0.4C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.625、(多选)已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为eq\f(1,2)，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过考试的高校个数为随机变量X，则()A．X的可能取值为0,1B．X服从两点分布C．E(X)＝1D．D(X)＝eq\f(3,16)6、(多选)设离散型随机变量X的分布列为X01245Pq0.30.20.20.1若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()A．E(X)＝2 B．D(X)＝2.4C．D(X)＝2.8 D．D(Y)＝147、离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.8、若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝eq\f(7,3)，E(X)＝－eq\f(1,3)，则a＝________.9、端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．10、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如表：环数击中频率选手78910甲0.20.150.3乙0.20.20.35请你根据上述信息，解决下列问题：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；(2)若从甲、乙射击运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？11、为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．