考点07空间中线面的位置关系的判断与证明

考点07空间中线面的位置关系的判断与证明立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。例如：2022年全国乙卷（理）[18]，2022年全国乙卷（文）[18]，2022年全国甲卷（文）[19]，2022年全国甲卷（理）[18]，2022年浙江高考[19]，2022年新高考Ⅱ卷[20]，2022年北京高考[17]等都对空间几何体的体积进行了考查。〔1〕空间直线、平面的平行关系1.证明空间两直线平行的3种常用方法(1)利用平行公理；(2)利用直线与平面平行的性质定理；(3)利用平面与平面平行的性质定理.2.证明直线与平面平行的4种常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(，，⇒)；(3)利用面面平行的性质定理(，⇒)；(4)利用面面平行的性质(，，，⇒)。3.证明平面与平面平行的4种常用方法：(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）.〔2〕空间直线、平面的垂直关系1.证明直线与平面垂直的4种常用方法(1)线面垂直的判定定理：，，，，。(2)面面垂直的性质定理：，，，⇒。(3)性质：①，⇒；②，⇒。2.证明平面与平面垂直2种常用方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题。(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决。〔3〕向量法证平行1.线线平行：设直线,的方向向量分别是、,则要证明,只需证明，即.2.线面平行(1)设直线的方向向量为,平面的法向量为,要证明,只需证明⊥,即·=0.(2)根据线面平行的判定定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,可以证明该直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量平行.(3)要证明一条直线和一个平面平行,可证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.3.面面平行：证明两平面的法向量为共线向量.〔4〕向量法证垂直1.线线垂直：设直线,的方向向量分别为、,则要证明,只需证明⊥,即·=0.2.线面垂直：设直线的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明//.3.面面垂直：要证明两个平面垂直，只需证明两个平面的法向量互相垂直.例1．（2022·全国·高考乙卷（理）·18）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)与平面所成的角的正弦值为【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.例2．（2022·浙江·高考·19）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，则，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为由，得，取，设直线与平面所成角为，∴．1．（2022·广西北海·一模（理））如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可；（2）建立坐标系，求出两个平面的法向量即可求得两平面所成二面角的余弦值，再求正弦值即可.【详解】（1）证明：取的中点O，连接,，∵，，∴且，∵，，∴，且,∴四边形是平行四边形，∴，∵，平面，平面，∴平面.（2）因为，，两两垂直，故以为原点，,,分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：，，，，，，，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为，有，，，可得，故平面与平面的二面角的正弦值为．2．（2022·广西北海·一模（文））如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，E为AB的中点，F为的中点.(1)证明：平面；(2)若点P为线段上的动点，求点P到平面的距离.【答案】(1)证明见详解；(2).【分析】（1）取BC的中点G，连接FG，EG，，证明平面平面，原题即得证；（2）连接BD与AC相交于点O，利用求解.【详解】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接FG，EG，.∵为的中点，E为AB的中点，∴，因为平面,平面，所以平面.∵为的中点，F为的中点，∴.∵直棱柱，∴，∴，因为平面,平面，所以平面.∵，平面，∴平面平面.又∵平面，∴平面.（2）解：如图，连接BD与AC相交于点O，在中，，同理，由菱形可知，，在中，.设点P到平面的距离为，由平面，可知点到平面的距离也为，由，可得的面积为，的面积为.有，，由，有，可得，故点到平面的距离为.3．（2022·甘肃·模拟预测）如图,在三棱台DEF－ABC中,AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点．(1)求证：平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF＝DE,∠BAC＝45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)60°【分析】(1)根据题意证明出四边形DFCG为平行四边形,再由线线平行证明出线面平行;(2)为了方便计算,不妨先设出一个棱长,根据题意建系,把面面角的余弦值转化为各自法向量夹角的余弦值的绝对值,进而求出面面所成角即可.【详解】（1）证明:连接DG,CD,设,连接OH,在三棱台DEF－ABC中,AB＝2DE,G为AC的中点,可得,,所以四边形DFCG为平行四边形．则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以,又平面FGH,平面FGH,所以平面FGH．（2）由题知,不妨设设AB＝2,则CF＝1．在三棱台DEF－ABC中,G为AC的中点,由,可得四边形DGCF为平行四边形,因此,又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC．在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC＝45°,G是AC中点．所以AB＝BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直．以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz．所以,,,．可得,,故,．设是平面FGH的一个法向量,则由,可得,可得平面FGH的一个法向量．因为是平面ACFD的一个法向量,．所以．所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°．4．（2022·四川雅安·模拟预测（文））如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，满足，如图②所示．(1)若H为PC上靠近P的一个三等分点，求证：直线平面PBE；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由面面平行或线线平行证明线面平行，证平面平面PBE或证即可.（2）棱锥的底面为等腰梯形，证明面面垂直作出棱锥的高，分别计算棱锥的底面积和高即可.【详解】（1）方法1，在BC上取靠近B的三等分点Q，连接FQ，HQ，，则，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，又知，所以，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，平面FHQ，平面FHQ，，所以，平面平面PBE，平面FHQ，所以，直线平面PBE．方法2，连接AP，则AP是平面PAB与平面PAC的交线，可知，所以，又平面PBE，平面PBE，所以，直线平面PBE．（2）取BC中点G，连接AG，并交EF于点D，连接PD，为等边三角形，，∴，，平面PDG，平面PDG，，可知平面PDG，平面，∴平面平面PDG．由余弦定理，，则，可知，为等边三角形，边长为．作于O，则平面BCFE，可得，即四棱锥的高．设四棱锥的体积为V，则．5．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作出辅助线，求出，由勾股定理逆定理得到，进而得到线面垂直，得到，从而得到平面，得到，最终证明出平面，得到面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，因为，所以，因为，所以，由勾股定理得：，因为，故，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知两两垂直，以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．，由平面知是平面的一个法向量．设平面的法向量为，由得：，解得：，令，则，故，设平面与平面所成锐角为，即，所以平面与平面所成锐角的余弦值为．6．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））如图，已知直三棱柱的底面是正三角形，为的中点，点分别为的中点，过点的平面交于点，交于点.(1)证明：平面平面；(2)若，求的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）首先可证明平面，然后由可得平面，即可证明；（2）首先求出的长度，然后可证明是的中点，然后可得在中，边上的高为，然后可算出答案.【详解】（1）因为平面平面，所以，又因为是正三角形，是的中点，所以，又，所以平面，因为点分别为的中点，所以，所以平面，又平面，故平面平面；（2）在中，由可知，所以，由可知，在中，由余弦定理可得，则，又因为平面，又平面，所以，在和中，因为，所以，则，即是的中点.所以在中，边上的高为，故的面积为.7．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模（文））如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是的中点．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由已知得，，从而平面，而又平面，故；（2）由（1）知，平面，然后利用等体积法求三棱锥的体积．【详解】（1）∵平面，平面，∴又，，，∴，∴又，平面，平面∴平面又平面，∴．（2）由（1）知平面，∴点A到平面的距离为又D是的中点，∴点D到平面的距离为∵∴．8．（2022·北京·北大附中三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.【详解】（1）证明：由题知，，又，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，在正中，为中点，于是，又，平面，所以平面（2）取中点为中点为，则，由（1）知，平面，且平面，所以，又，所以，平面所以平面，于是两两垂直.如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.设，则.由于直线与平面所成角的正弦值为，，即，整理得，由于，所以于是.设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.9．已知三棱锥中，，为等边三角形，平面平面.(1)求证：；(2)若三棱维的体积为，求a的值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）设中点为M，连结，则由等边三角形的性质可得，再由面面垂直的性质可得平面，则，再由可得，则可得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论，（2）由（1）可知平面，则由三棱锥的体积公式列方程可求出a的值.【详解】（1）证明：设中点为M，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面所以，因为所以，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）因为平面，为等边三角形，所以，所以.10．（2022·四川·模拟预测（文））如图，在多面体中，平面，四边形是平行四边形.为的中点.(1)证明:平面.(2)若是棱上一点，且，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证平面，再证四边形是平行四边形即可得，从而平面.（2）根据条件求出，设点到平面的距离为，再由即可求得.【详解】（1）证明：因为平面，所以.因为，，且平面，平面所以平面.因为，且为的中点，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，则，所以平面.（2）因为，所以，，又，所以，，所以，，所以.设点到平面的距离为，则.又，所以，由，得，即点到平面的距离为.11．（2022·广东广州·一模）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，(1)证明：平面平面；(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，证明，利用平面，证明平面，从而平面平面；（2）建立平面直角坐标系，设，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐标，再利用空间向量法求出点到面的距离．【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，因为是菱形，所以，且是的中点，所以且，又，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，是正三角形，，，又平面，所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，则，，，，，，则设，，所以，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，，得平面的法向量可以为，，解得，所以，则设平面的一个法向量为，则，即，取，得，所以点到平面的距离.12．（2022·广西·模拟预测（文））如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.(1)证明：平面；(2)若点到平面的距离为，求.【答案】(1)证明见解析；(2)2【分析】（1）连接，先根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明即可；（2）设，根据等体积法求解即可.【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，因为，所以为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因为，即，所以，又，平面