宜宾市2022级（2025届）高三第一次诊断性测试（一诊）数学试卷（含答案）

宜宾市普通高中2022级第一次诊断性测试 数学 2024.11.19 (考试时间:120分钟;全卷满分:150分) 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别为z₁，z₂，则|z₁-z₂|=A.13BC.3D.52.下列函数中，既是奇函数，又在(0，+∞)上为增函数的是A.fx=eˣ+e⁻ˣB.fx=eˣ-e⁻ˣC.f(x)=xD.f(x)=xl3.若α∈π3π2,tanα=A.-32B.-22C.-124.已知随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=2,D(ξ)=1,则P(ξ=2)=A.18B.14C.38D5.已知向量a,b满足||a|=1,|a+b|=2,且(b-a)⊥b,则|b|=A.1B.2C.3D.6.从标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为A.310B.13C.357.已知a=53,b=3A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a一诊测试数学第1页共4’页8.a＞2π是函数f(x)=ax+cosx-sinx-1在x∈(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.某社会机构统计了某市四所大学2024年的毕业生人数及自主创业人数如下表：A大学B大学C大学D大学毕业生人数x(千人)345m自主创业人数y(千人)0.10.20.40.5根据表中数据得到自主创业人数y关于毕业生人数x的经验回归方程为y=0.14x-0.33，则A.y与x正相关B.m=6C.当x=3时,残差为0.01D.样本的相关系数r为负数10.设函数fxA.x=0是f(x)的极大值点B.f(sinx)在(0,π/2)单增C.f(x)+f(1-x)=1D.f11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f(1+2x)与g(2-x)均为偶函数，则A.f(0)=0B.g(-2)=g(2)C.f(0)=f(2)D.∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x+213.设曲线y=e²ᵃˣ在点(0,1)处的切线与直线x+2y+2=0垂直,则a=14.如图，一张圆形纸片直径AB=20，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点C，D，现沿边将EC,FC,GD,HD裁剪,剪去两个全等且关于线段AB的中垂线对称的△CEF与△DGH,展开得到一个镂空的图案.若∠ECF=∠GDH=45°,则两个镂空四边形CEC₁F与DGD₁H面积之和的最小值为.一诊测试数学第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，正四棱柱.ABCD-A₁B₁C₁D₁中,M为DD₁的中点，AB=1,AA₁=2.(1)求证:平面.B₁MC(2)求平面MAC与平面B₁AC的夹角的余弦值.16.(15分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34,每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击--次，命中的概率为14,命中得(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).17.(15分)已知函数fx=23sinxcosx-2sin2x+1,在锐角△ABC中，内角A，B，(1)求A;(2)若b=1,求一诊测试数学第3页共4页18.(17分)已知O为坐标原点，双曲线(C:x2a2-y2(1)求C的标准方程；(2)过C的右焦点F的直线l₁与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，点Ω是线段AB的中点，过点F且与l₁垂直的直线l₂交直线OQ于点M，点N满足MN①证明：点M在一条定直线上；②求四边形MANB面积的最小值.19.(17分)已知函数u(1)当a=1时，判断u(x(2)若函数.fx①求实数a的取值范围；②证明：f(x)的所有零点之和大于3.一诊测试数学第4页共4页宜宾市普通高中2022级第一次诊断性测试数学参考答案及评分意见一、选择题题号1234567891011选项ABCCACDBABCACBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.16013.114.300四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)证明:连结B₁D₁,在△B₁D₁M中,BB所以B₁M²+MC²=B₁C²,于是B₁M⊥MC,同理可证B₁M⊥AM,又MA∩MC=M所以B₁M⊥平面AMC,又B₁M⊂平面B₁MC,所以平面B₁MC⊥平面AMC;………6分(2)解:取AC的中点O,连结OM,OB₁,因为MC=MA=所以,OM⊥AC,OB₁⊥AC,所以平面MAC与平面B₁AC的夹角为∠B₁OM,…………………10分在Rt△B₁OM中,B所以，cos∠B1平面MAC与平面B₁AC的夹角的余弦值33.…………16.(15分)解：(1)该射手恰好命中一次的概率P=C21（2）该射手的总得分X的所有可能取值为:0,1,2,3,4分…………7所以PPPP…………………12于是，X的分布列为X01234Pω|只1828の|R9……………13分所以，EX=0×317.(15分)解：1f所以f即分…………………4又因为所以6分所以…………………7(2)在△ABC中,asin即a所以分………………9所以…………………10因为π6<B<π2,所以设t=1tanB∈03可得：4a2-2c∈74法二由余弦定理可知：a²=1+c²-2ccosA=c⁻-c+1,由几何图形可知所以4a2-2c=418.(17分)解：(1)由题可得故双曲线方程为x2-y(2)①设直线l₁的方程为：x=my+5(m≠0),A[x₁,y₁),B|x₂,y₂|,Q(x₃,y₃|联立方程-x=y+y=5xixi可得4m[#こ△=320m²-644m²-1故y3=y由于直线l₁与双曲线的左右两支相交，所以方程(C)有两个同号的实根故y由O,Q,M三点共线得:由MF⊥l₁得由(i).(ii)解得:M154m显然点M的横坐标为定值，纵坐标随m变化而变化故点M过定直线x=55………②由MN=MA+所以因为4m²-1>04m²-1>0SMANB=4令t=1+t=则令f则f所以f(t)在1152单调递增，在故ftmax=f|此时四边形MANB面积取到最小值为S当且仅当t=152,即m=±19.(17分)解:(1)当a=1时,u所以u所以u(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减………………4分2f'x=4x则f'易知g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,g(1)=2-a……6分若a≤2,则gx若a>2,此时f'(1)=2g(1)<0…………7分注意到当x→+∞时f'x→+∞,故f'(x)=0在(1容易证明当a>2时lna<a-1,所以:f所以f'x=0在1a1)上有一个根x综上实数a的取值范围为(2，+∞)…………………10分方法二：可用参变分离法求解，(阅卷时酌情给分.)②由上面的讨论可知0<x₁<1<x₂,且1f(x)在(0,x₁),(x₂,+∞)单