数学学案：集合之间的关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修1第一章1。1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．2．能使用维恩（Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义．3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．1．集合之间的关系定义性质特殊规定（结论）子集一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的____，记作____或____,读作“A______B”或“B____A”对于集合A，B,C，如果A⊆B，B⊆C，则A____C根据子集的定义,任意一个集合A都是______的子集，即________．空集是____________的子集．也就是说,对任意集合A，都有____（其中A也可能是)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的______，记作____或____，读作“A________B”或“B______A”对于集合A，B，C,如果AB,BC，则A____C空集是____________的真子集，也就是说,对任意一个非空集合A,都有___________相等一般地,如果集合A的______元素都是集合B的元素，反过来,集合B的______元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B,记作A＝B如果A⊆B，又B⊆A，则____;反之，如果A＝B，则________对于元素较少的有限集，可以将集合中的元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同,从而得到两个集合相等．对于无限集，只需说明两个集合之间具有相互包含关系,就可以得到两个集合相等A⊆B包括AB和A＝B两种情况．其中AB，可形象地理解为B中元素至少比A中元素多一个;而A＝B，可从A的元素与B的元素完全一样去理解．【做一做1－1】有下列关系：①1∈{0，1,2}；②｛1｝∈｛0,1,2};③{0,1，2｝⊆{0，1,2｝；④{0，1，2}＝｛2,0，1｝．其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【做一做1－2】已知集合A＝｛1,2,3},B＝{3，x2,2},若A＝B，则x的值是（)A．1B．－1C．±1D．0【做一做1－3】集合｛x∈Z｜2009≤x≤2011}的真子集的个数为（)A．3B．6C．7D．2．维恩(Venn)图我们常用平面内一条____________来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn）图．如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（如图所示）．【做一做2】如图所示，对于集合A，B，C，D的关系，描述正确的是()A．B⊆CB．D⊆AC．ABD．AC3．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝｛x｜p(x)｝，B＝{x|q(x)}，则有集合间的关系特征性质间的关系A⊆B________A⊇B________A＝B________【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2011｝，N＝{x｜x≥a｝，且x≥a⇒x＞2011,则a满足的条件为__________．一、“∈”与“⊆"的区别与联系剖析：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“⊆"表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．从属关系（∈）一般只能用在元素与集合之间；包含关系（⊆，）只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系．例如，表示元素与集合之间的关系有:1∈N，－1∉N,1∈{1}，0∈｛0}等，但不能写成0＝｛0｝或0⊆｛0｝；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，｛1,2，3｝⊆{1，2，3}，｛1，2,3｝{1，2，3，4｝等；但需要引起注意的是{｝与∈｛}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把看成集合{｝中的元素来考虑．二、探索集合的子集个数问题剖析：由子集的定义可知:若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含以下两个方面：(1）AB；(2)A＝B．由以上知识，可以得到：若B＝｛a},则其子集可以是，｛a}，即集合中若有1个元素,其子集个数为2;若B＝{a，b}，则其子集可以是，{a},｛b｝，｛a，b}，即集合中若有2个元素，其子集个数为4；若B＝{a,b，c｝,则其子集可以是，{a｝,{b｝,｛c｝，{a，b｝,{a，c｝，｛b，c｝，{a，b，c}，即集合中若有3个元素，其子集的个数为8；若B＝{a,b,c,d}，则其子集可以是，{a}，{b},｛c}，{d}，{a，b}，｛a，c｝,{a,d｝,｛b，c｝，｛b,d｝,｛c，d}，{a，b，c｝，{a,b，d},｛a,c，d｝，｛b，c，d}，｛a，b，c，d}，即集合中若有4个元素，其子集的个数为16。综上所述，集合中的元素个数每增加1,其子集的个数变为原来的2倍，其对应关系为：元素个数子集数目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24由此可以猜测：若集合中有n个元素,则其子集的个数应为2n，其非空子集的个数为（2n－1),其真子集的个数应为(2n－1),其非空真子集的个数为(2n－2)．三、教材中的“思考与讨论”已知集合A的特征性质为p（x),集合B的特征性质为q（x)．“如果p(x),那么q(x）”是正确的命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．剖析：设A＝｛x|p(x)}，B＝｛x|q(x)｝，“如果p（x），那么q（x）"是正确的命题，则有p（x)⇒q(x)，即x∈A⇒x∈B，根据子集的定义有A⊆B．举例说明如下：A＝｛x｜x是6的约数｝,B＝{x｜x是12的约数｝，即集合A的特征性质p(x）是:x是6的约数;集合B的特征性质q(x）是：x是12的约数．而6的约数是1,2，3,6，12的约数是1，2，3，4，6，12，由此得知，“如果p（x),那么q（x）”是真命题，则有“如果x是6的约数，那么x是12的约数"，即x∈A⇒x∈B,所以A⊆B．题型一子集、真子集的概念【例1】（2011·东北五校高一期末）有下列关系：①0∈{0}；②｛0}；③｛0，1}⊆{(0，1)｝;④｛(a，b）}＝{(b，a）｝．其中正确的个数为（)A．1B．2C．3D．反思：注重元素与集合、集合与集合间关系的判断的本质要求,判断时要注意看清楚集合是数集还是点集，更要注意空集的特殊性．题型二两个集合相等及其应用【例2】已知M＝{2，a，b}，N＝｛2a，2，b2｝,且M＝N,求a，b的值分析：eq\x(M＝N)→eq\x（列方程组）→eq\x（解方程组求a，b的值）反思：由集合相等的概念不难得到，若两个有限集相等，则一定会具有以下性质:（1）两个集合的元素的个数相等；（2)两个集合的元素之和相等；（3）两个集合的元素之积相等．另外，在考虑两个集合相等时，还应注意到集合中元素的互异性．本题结果易出现含有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，，b＝0））这种情况的错误,导致该种错误的原因是忽视了集合中元素的互异性．题型三根据子集关系，确定参数的值【例3】设集合A＝｛－1,1｝，集合B＝｛x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B⊆A，求a，b的值．分析：由B≠，B⊆A，可见B是A的非空子集．而A的非空子集有三个:{－1}，｛1},｛－1，1｝,所以B要分三种情形讨论．反思：利用分类讨论的思想，考虑集合B的所有可能的情况，这是处理集合与其子集之间关系的常用方法．另外，此题也可以利用根与系数的关系求解．此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件而考虑B＝的情形．题型四集合关系与其特征性质之间的关系【例4】已知集合A＝｛x｜x＝1＋a2，a∈R｝,B＝｛y|y＝a2－4a＋5,a∈R｝,判断这两个集合之间的关系,并判断它们的特征性质之间的关系分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系．反思：集合关系与其特征性质之间的关系是必修1中新增添的内容，我们不仅可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系，还可以用集合特征性质之间的关系判断集合之间的关系，但要注意转化的等价性．题型五易错辨析【例5】集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1｝（1)若B⊆A，求实数m满足的条件；（2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．错解:（1)由题意并结合数轴(如下图），得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，，2m－1≤5.))解得2≤m≤3。所以实数m满足的条件是2≤m≤3。(2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0,1,2，3，4,5｝，所以A的非空真子集的个数为28－1＝255.反思：空集是一种特殊的集合，也是集合运算中最活跃的一个集合,它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B⊆A时，B可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论．1已知集合A＝｛x∈N＋｜－2011＜x＜2012｝，B＝{x∈Z|0≤x≤2011}，则集合A，B之间的关系为(）A．A＝BB．ABC．BAD．A⊃B2已知集合A＝｛a}，C＝{a,b，c｝，若A⊆B且B⊆C，则集合B的个数是（)A．1B．2C．3D．3设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a｝，若A⊆B,则a满足的条件是（）A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a4已知集合A＝{2,9}，集合B＝{m2－m，9}，且A＝B，则实数m等于__________．5有下面5个命题：①空集没有子集；②任意集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中不正确命题的序号有__________．6已知集合A中元素的特征性质p（x):x2－2x－3＝0，集合B中元素的特征性质q(x)：ax－1＝0,a∈R。若q(x)⇒p（x)，试求a的值．答案：基础知识·梳理1．子集A⊆BB⊇A包含于包含⊆它本身A⊆A任意一个集合⊆A真子集ABBA真包含于真包含任意一个非空集合A每一个每一个A＝BA⊆B，且B⊆A【做一做1－1】A①正确；②错误，应为{1｝｛0,1,2｝；③正确,也可以写成{0,1，2}＝｛0,1，2};④正确．故选A.【做一做1－2】C【做一做1－3】C∵｛x∈Z｜2009≤x≤2011}＝{2009,2010,2011｝，集合中有3个元素，∴真子集个数为23－1＝7.2．封闭曲线的内部真子集【做一做2】D3．p（x)⇒q（x）q（x）⇒p（x）p(x)⇔q（x)【做一做3】a＞2011∵x≥a⇒x＞2011，∴N⊆M.∴a＞2011.典型例题·领悟【例1】B根据元素与集合的关系可知0∈｛0｝正确；由空集是任意非空集合的真子集可知｛0｝正确;③中集合{0,1｝的元素是数，而集合｛(0，1）}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点,而点的坐标有顺序性，因此{（a,b)｝≠{（b，a）}，故④错误；综上，应选B.【例2】解：根据集合中元素的互异性和M＝N,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2a,,b＝b2）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝b2，，b＝2a.）)解方程组，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,,b＝0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，，b＝1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（1,4)，,b＝\f（1,2)。))再根据集合中元素的互异性，知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，，b＝0))不符合要求,舍去，所以a，b的值为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0,，b＝1）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f（1,4)，，b＝\f（1,2）.））【例3】解：由B⊆A，知B中的所有元素都属于集合A。又B≠，故集合B有三种情形:B＝｛－1}或B＝｛1｝或B＝｛－1,1｝．当B＝{－1}时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2a＋b＝0,,（－2a）2－4b＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－1，,b＝1；））当B＝｛1｝时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－2a＋b＝0，，(－2a)2－4b＝0,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1;))当B＝{－1,1｝时，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋2a＋b＝0,,1－2a＋b＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－1。）)综上所述，a,b的值为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－1，，b＝1）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1,，b＝1)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝0，，b＝－1.))【例4】解：因为x＝1＋a2，a∈R，所以x≥1.因为y＝a2－4a＋5＝（a－2)2＋1,a∈R，所以y≥1，故A＝{x｜x≥1｝,B＝{y|y≥1｝,所以A＝B.故它们的特征性质之间的关系为：x＝1＋a2,a∈