数学学案：集合与集合的表示方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1集合与集合的表示方法1．集合的概念(1)集合与元素的含义一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），常用英语大写字母A，B，C,…来表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），常用英语小写字母a，b，c,…来表示．示例:小于5的自然数组成的集合，可以记为集合B，它的元素是0,1，2，3，4.点技巧一组对象能否构成集合的判断技巧判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的,如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．(2)元素与集合的关系元素与集合有属于(∈)和不属于（）两种关系．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作aA，读作“a不属于A”．对于元素与集合的关系要从以下三个方面理解:①a∈A与aA取决于a是不是集合A的元素，对任何a与A，在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立；②集合的元素具有两方面的意义，即凡是符合条件的对象都是该集合的元素,只要是该集合的元素就符合条件；③“∈"与“”的开口方向是朝向集合的．谈重点对符号“∈"或“”的理解符号∈和只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,左右两边不能互换；a∈A或aA取决于a是否是集合A的元素，这两种情况有且只有一种成立．（3)空集不含任何元素的集合叫做空集，记作。如：方程x2＋1＝0的实数解构成的集合，显然方程x2＋1＝0无实数解,故方程x2＋1＝0的实数解构成的集合为.（4）集合中元素的性质元素的性质理解确定性给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合,那么任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了,我们把这个性质称为集合元素的确定性．互异性一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的．我们把这个性质称为集合元素的互异性．无序性集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性。【例1－1】下列每组对象能否构成一个集合？(1)所有很大的实数;（2)不超过20的非负数的全体;(3)方程x2－9＝0在实数范围内的所有解；（4)直角坐标平面内第一象限的点．分析：判断所给对象能否构成集合，只需看满足条件的对象是不是“确定”的，若是，则能构成集合，否则不能构成集合．解：(1)“所有很大的实数”无明确的标准，对于某个实数是否“很大”无法客观地判断，因此（1)中的对象不能构成集合．(2)任给一个实数x,可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数的全体”能构成集合．（3）中满足条件的解能构成集合．(4)任给一个点，可以明确地判断它是不是第一象限的点，所以满足条件的点能构成一个集合．【例1－2】用符号∈或填空：（1)设集合A是正整数构成的集合，则0______A，______A，（－1）0______A；(2）设集合B是小于的所有实数构成的集合,则______B，______B；（3）设集合C是满足x＝n2＋1(其中n为正整数）的实数x构成的集合，则3______C，5______C；（4）设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对（x,y)构成的集合，则－1______D，(－1,1)______D.解析：(1)∵0不是正整数，∴0A.∵是无理数，∴A.∵(－1)0＝1是正整数,∴(－1）0∈A。（2）∵,∴B.∵（1＋)2＝3＋＜11，∴.∴1＋∈B。(3）∵n是正整数，∴n2＋1≠3。∴3C。∵n＝2时，n2＋1＝5,∴5∈C。（4)由于集合D中的元素是有序实数对（x，y)，而－1是实数，不是有序实数对，∴－1D。∵（－1)2＝1，∴(－1,1）∈D.答案：（1)∈(2）∈（3)∈（4)∈【例1－3】由a，－a，｜a｜，构成的集合中，最多含有几个元素？分析：首先对a进行分类讨论，然后根据集合中元素的性质,判断集合中元素的个数．解：当a＝0时，四个数都为0，即该集合只含有一个元素．当a≠0时，含有两个元素a，－a。所以此集合最多含有两个元素．2．集合的分类集合可以根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集和无限集．(1)有限集：含有有限个元素的集合．如由方程3x＋1＝0的解的全体组成的集合，由2,4,6，8组成的集合，它们的元素个数是可数的,因此这两个集合是有限集．（2）无限集：含有无限个元素的集合．如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集．一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.【例2】下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集还是无限集：(1）中国的所有人口；（2)广东省2013年的所有应届高中毕业生；(3）数轴上到原点的距离小于1的所有点;（4）方程x2＝0的解的全体．解：（1）中国的所有人口能构成一个集合，它是有限集．(2)广东省2013年的所有应届高中毕业生能构成一个集合，它是有限集．（3）数轴上到原点的距离小于1的所有点能构成一个集合，它是无限集．(4）方程x2＝0的解是x＝0,它能构成一个集合,它是有限集．3．常用数集数集含义记号自然数集非负整数全体构成的集合N正整数集自然数集内排除0的集合N＋或N＊整数集整数全体构成的集合Z有理数集有理数全体构成的集合Q实数集实数全体构成的集合R辨误区对常用数集的理解通常情况下,N，N＋,Z，Q，R不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”的局面;虽然正整数集有两种字母表示：N＋或N*,但是本书中主要用N＋表示正整数集．【例3】用符号∈或填空：(1)3____N;3____Z；3____N＋；3____Q；3____R。(2)3。1____N；3.1____Z；3。1____N＋；3。1____Q；3.1____R.解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断．（1)3是自然数,也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数,所以有：3∈N；3∈Z；3∈N＋；3∈Q；3∈R。(2)3.1不是自然数，也不是整数,也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3。1N;3.1Z；3。1N＋;3。1∈Q；3。1∈R。答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∈∈4．集合的表示方法(1）列举法列举法把集合中的所有元素都列举出来,写在花括号“{｝”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法．一般形式｛a1，a2，a3，…，an}示例中国古代四大发明组成的集合，用列举法表示为{火药,造纸术，活字印刷术，指南针}谈重点用列举法表示集合时应注意的问题1．当集合的元素较少时,可以采用列举法表示；2．元素间用“，”分隔开;3．元素不能重复，不考虑顺序；4．集合元素个数较多或无限时（无限集），一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时,可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．【例4－1】用列举法表示下列集合:(1）小于7的所有正偶数组成的集合；（2）方程x2＝x的解集．分析:(1）中要明确小于7的所有正偶数都有哪些；(2)中要明确方程x2＝x的实数根是哪些．解：（1)设小于7的所有正偶数组成的集合为A，因为小于7的所有正偶数是2,4，6,所以A＝{2，4，6｝．（2)设方程x2＝x的解集为B，解方程x2＝x，得x＝0，或x＝1，则B＝{0，1｝．【例4－2】一元二次方程ax2＋5x＋c＝0的解集用列举法表示为，则a＝________，c＝________。解析：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是,那么是方程的根，则解得答案：－6－1(2）描述法描述法用集合中元素的特征性质表示集合的方法一般形式｛x∈I|p（x）｝(其中x是集合中元素的一般符号，p（x）是集合中元素的特征性质)具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的特征性质。谈重点用描述法表示集合时应注意的问题(1)先确定该集合中元素的一般符号;（2)写清楚元素的特征性质;(3）不能出现未被说明的字母；(4）多个特征性质之间的关系正确使用“且”“或”；(5)元素的特征性质尽量用数学符号表示；(6)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分．如：｛直角三角形}等．【例4－3】用描述法表示下列集合:（1）所有的偶数构成的集合;（2)不等式2x－4＞0的解集．解:(1）偶数是能被2整除的数，即2的倍数，所以所有偶数构成的集合用描述法表示为{x｜x＝2n，n∈Z｝．(2）设不等式2x－4＞0的解集为A，x为集合A中元素的代表符号，其满足的特征性质是2x－4＞0，则A＝{x｜2x－4＞0};解不等式2x－4＞0，得x＞2，则也可以表示为A＝{x|x＞2}．【例4－4】分别用列举法和描述法表示下列集合：(1）方程x2－x－2＝0的解集;（2）大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解：(1）方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0,因此，用描述法表示为｛x∈R|x2－x－2＝0｝；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1，2｝．（2）大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1＜x＜7。因此,用描述法表示为｛x∈Z｜－1＜x＜7｝;大于－1且小于7的整数有0，1，2，3，4，5,6,因此，用列举法表示为{0,1,2,3，4，5，6}．5．集合中元素的性质及应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合,集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一对象要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一．一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准）．(2）集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是不能重复出现的,相同的元素在一个集合中只能算作一个元素．特别是集合中含有字母参数时，求出参数后一定要检验它是否满足元素的互异性．例如：方程x2＝0的两个根x1＝x2＝0，而方程x2＝0的根构成的集合可表示为{0｝,而不能表示为｛0,0}．示例:若a,b，c为集合S中的三个元素,并且它们也是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D【例5－1】下列说法正确的是()A．数学成绩较好的同学可以构成一个集合B．所有绝对值接近于零的数构成一个集合C．集合｛1,2，3}与集合｛3，2,1}表示同一个集合D．1，0。5，，，组成一个含有5个元素的集合解析：“成绩较好"标准不明确，不符合元素的确定性，即A不正确；“绝对值接近于零的数"标准不明确，不能构成集合,即B不正确;集合｛1，2,3}与{3，2,1｝元素相同，即表示同一个集合;1,0。5，，,组成一个含有3个元素的集合，且为，即D不正确．答案:C【例5－2】数集{2,x,x2－x}中的元素x应满足的条件是__________．解析：由元素的互异性可知，x≠2，且x2－x≠2，x2－x≠x，即解得x≠2，且x≠－1，且x≠0。答案:x≠2，且x≠－1，且x≠06．元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种:属于和不属于．对于常见的数集符号应熟练掌握，是不含任何元素的集合，这些集合是今后学习集合的工具,必须牢记．用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时,观察即得元素与集合的关系．例如，集合A＝{1,9，12｝,则0A,9∈A。用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……，其次要清楚元素的特征性质是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．描述法表示的集合形式为：{x｜x∈P（x)}，其中P(x）为该集合元素的特征性质．例如,集合B＝｛x｜x＝3n－1，n∈Z}，则该集合元素的一般符号是x，其特征性质是x＝3n－1，n∈Z，即集合B中的元素是整数,并且这个整数等于3的整数倍减去1，因此判断某个元素与集合B的关系时，只需判断所给的元素是否等于3的整数倍减去1即可．【例6－1】已知集合A＝｛x｜x＝m＋n，m，n∈Z｝，若x1∈A，x2∈A，试判断x1x2与集合A的关系．分析：由于x1，x2是集合A中的元素，根据集合A中的元素特征分别设出x1,x2，整理x1x2后判断是否满足集合A中元素的特征：的整数倍与一个整数的和的形式．解：∵x1∈A,x2∈A，∴设x1＝m1＋n1，m1,n1∈Z，x2＝m2＋n2，m2,n2∈Z，∴x1x2＝(m1＋n1）（m2＋n2)＝2m1m2＋m1n2＋m2n1＋n1n2＝(m1n2＋m2n1)＋(2m1m2＋n1n2）．∵m1，n1∈Z，m2，n2∈Z，∴（m1n2＋m2n1）∈Z，(2m1m2＋n1n2）∈Z.∴x1x2∈A.【例6－2】若集合A＝｛a－3,2a－1，a2－4｝，且－3∈A，求实数a的值．分析：由于－3∈A,故应分a－3＝－3，2a－1＝－3,a2－4＝－3三种情况讨论，求出a值后,应验证是否满足集合中元素的互异性．解：若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4},满足题意；若2a－1＝－3,则a＝－1,此时A＝｛－4，－3，－3｝，不满足元素的互异性;若a2－4＝－3，即a＝±1。当a＝1时A＝｛－2,1，－3}满足题意，当a＝－1时，不合题意．综上可知：a＝0或a＝1。7．集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时,只需把它的元素一一列举出来即可,不必考虑元素间的顺序．要注意,并不是所有集合都可以采用列举法表示．(2)用列举法表示集合时，要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来．如方程x2＝1组成的集合是｛－1,1}，而该集合可描述为x2＝1的解集,或平方为1的数等．（3)使用描述法时，需注意以下几点:①写清楚该集合的代表元素（字母或用字母表示的元素符号）;②说明该集合中元素的特征性质;③所有描述的内容都要写在集合符号内；④用于描述的语句要求简明准确;⑤当用文字语言来描述集合中元素的特征性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为｛x｜x是四边形｝．在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成{四边形}．“所有四边形构成的集合”不能写成｛所有四边形｝,因为花括号本身就有全部的意思，故用文字描述集合时,应去掉含有“整体”“全部”等意义的词．【例7－1】用适当的方法表示下列对象构成的集合:(1)绝对值不大于2的所有整数；（2)方程组的解；(3）函数图象上的所有点．解：（1）由于|x｜≤2且x∈Z,所以x值为：－2，－1，0,1,2。所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为｛－2，－1,0,1,2｝．另外,用描述法可表示为{x∈Z｜|x｜≤2}．(2）解方程组得所以用列举法表示方程组的解集为{(0，1)｝．（3)函数图象上的点可以用有序实数对(x,y）表示，其满足的条件是，所以用描述法表示为。【例7－2】设集合A＝｛x|x＝2k，k∈Z}，B＝｛x|x＝2k＋1,k∈Z｝，C＝｛x｜x＝4k＋1,k∈Z｝，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A，B和C的关系．分析：判断a＋b与集合A,B，C的关系，就是看a＋b能否写成集合A，B，C中元素x所具有的形式．解：因为A＝{x｜x＝2k，k∈Z｝，B＝{x｜x＝2k＋1,k∈Z}，所以集合A由偶数构成，集合B由奇数构成,即a是偶数,b是奇数．设a＝2m,b＝2n＋1（m∈Z，n∈Z)，则a＋b＝2（m＋n)＋1是奇数,所以a＋bA，a＋b∈B。又C＝｛x｜x＝4k＋1,k∈Z｝是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1，故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC。8．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式等问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手．例如，集合A＝{x|ax－1＜0}的元素是关于x的不等式ax－1＜0的解，当a＝0时,这个不等式化为－1＜0，此时不等式的解集为实数集R，当a≠0时，这个不等式是关于x的一元一次不等式．如果忽视a＝0,那么就会导致出现错解．(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类讨论思想的综合应用．【例8】已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0,a∈R｝．(1)若A是空集,求a的取值范围;（2）若A中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来．分析：集合A中的元素是方程ax2－3x＋2＝0（a∈R)的根，故可考虑转化为方程根的个数问题．当a≠0时，可利用一元二次方程根的判别式建立关于a的不等式来求解．解：（1）若A＝，则方程ax2－3x＋2＝0无解，且a≠0，所以有Δ＝9－8a＜0，即。（2)若A中只有一个元素，有两种情况:当a＝0时,方程为－3x＋2＝0,即。当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实根，所以有Δ＝9－8a＝0,即,可解得.所以有当a＝0或时，A中只有一个元素为或。9．关于集合的信息题(1)这类问题主要以集合的表示方法或集合与元素的关系为背景,常常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题．(2)解决这类问题