数学学案：集合的运算第课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修1第一章1。2.2集合的运算第1课时1．理解两个集合的交集与并集的概念，明确数学中的“且”“或”的含义,会求两个简单集合的交集与并集．2．能使用Venn图表示集合之间的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．3．理解集合的交集、并集运算的性质，并能简单应用．1．交集与并集的概念知识点自然语言描述符号语言表示Venn图表示交集对于两个给定的集合A，B,由____________元素构成的集合A∩B＝__________并集对于两个给定的集合A，B，由____________构成的集合A∪B＝__________（1）在求集合的并集时，同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次．(2)对于“A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝"，不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含义,这就是定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素．【做一做1－1】设集合P＝{－1,0,1｝，Q＝｛－2,4｝,则P∩Q等于()A．B．｛－2，－1，0，1，4｝C．｛4}D．{0,1}【做一做1－2】若集合A＝｛0,1,2，3｝,B＝｛1,2,4}，则集合A∪B＝（)A．｛0,1,2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{1，2}D．{0｝2．交集与并集的运算性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B__B∩AA∪B__B∪AA∩A＝__A∪A＝__A∩＝∩A＝__A∪＝∪A＝__A⊆B⇔A∩B＝__A⊆B⇔A∪B＝__【做一做2】设集合A＝｛7，a｝，B＝｛－1}，若A∩B＝B,则a＝__________。一、集合运算中与生活用语中的“且”与“或"的区别和联系剖析：(1)集合运算中的“且"与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时"的含义,即“x∈A，且x∈B"表示元素x属于集合A同时属于集合B;（2）集合运算中的“或"与生活用语中的“或"的含义不同，生活用语中的“或"是指“或此”与“或彼”，只取其中之一，并不兼存;而集合运算中的“或”是指“或此”与“或彼”与“或此彼”，可兼有．例如：“x∈A，或x∈B”包含三种情况：①x∈A,但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B．而生活中：“小张或小李去办公室把作业本搬来"是指：“小张去”或“小李去"，仅其中一人去．二、教材中的“思考与讨论"1．两个非空集合的交集可能是空集吗？举例说明．剖析：可能．当A与B无公共元素时,A∩B＝，此时,A，B这两个集合可能至少有一个为空集，也可能这两个集合都是非空的，如：A＝｛1，3,5,7,9}，B＝{2,4，6,8，10}．2．如何用集合语言表示平面内的两条直线平行或重合?剖析：根据交集的定义与平面内两条直线的位置关系的定义,可以用集合语言表示平面内两条直线的平行或重合．若l1∩l2＝,则l1与l2平行；若l1∩l2＝l1（l2），则l1与l2重合．题型一两个集合的交集运算【例1】设A＝｛x|x2－7x＋6＝0｝,B＝｛x｜4＜x＜9,x∈N}，求A∩B．分析:首先明确集合A，B中的元素,集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集，集合B是不等式4＜x＜9的自然数解集，直接观察或借助于Venn图写出交集．反思：求两个集合的交集时，首先要识别所给集合，其次要简化集合,即明确集合中的元素，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果．有时要借助于Venn图或数轴写出交集．题型二两个集合的并集运算【例2】设集合A＝{x|x＋1＞0｝，B＝｛x|－2＜x＜2｝，求A∪B．分析：首先明确集合A中的元素,集合A是不等式x＋1＞0的解集,再借助于数轴找出A∪B．反思:求两个集合的并集时，若用描述法给出集合，要明确集合中的元素，直接观察写出并集，也可以借助于数轴写出并集;若用列举法给出集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出并集．题型三集合运算性质的应用【例3】集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜mx－2012＝0｝，若A∪B＝A,则m能取到的所有值的集合为__________．反思：A∪B＝A⇔B⊆A,A∩B＝A⇔A⊆B两个性质常常作为“等价转化"的依据，要特别注意当A⊆B时，往往需要按A＝和A≠两种情况分类讨论，而这一点却很容易被忽视．如本题中由B⊆A应分B＝和B≠两种情况考虑，尽管本题中B＝时，对应的方程无解，但满足B⊆A，因此也不要遗漏这种情况．题型四集合的交集、并集综合运算【例4】已知集合A＝｛y｜y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝｛y｜y＝－x2＋2x＋13，x∈R｝，求A∩B，A∪B．分析:先利用配方法确定集合A与B，再利用数轴进行集合的交、并集运算．反思：此类题目要看清集合的代表元素，先化简集合,再借助于数轴进行集合运算,特别是理解集合的含义，把集合化简、具体化是解决此类题的关键．例如这一题目,在求A∩B时，极易出现由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x2－2x－3，,y＝－x2＋2x＋13，))得y＝5，进而得出A∩B＝｛5｝的错误．【例5】设A＝{x|x2＋4x＝0｝,B＝｛x｜x2＋2(a＋1）x＋a2－1＝0}．（1）若A∩B＝B，求a的值；（2)若A∪B＝B，求a的值．分析：(1)A∩B＝B⇔B⊆A，因此集合B可能为，｛0｝，｛－4}，｛0，－4}，分类讨论即可；(2)A∪B＝B⇔A⊆B，而B中至多有两个元素,故应有A＝B，然后利用集合相等求解．反思:注意运用A∩B＝A⇔A⊆B,A∪B＝B⇔A⊆B实现条件转化,同时包含关系A⊆B中，不要漏掉A＝的情况．题型五易错辨析【例6】设集合A＝｛x∈R|x2＋2x＋2－p＝0},B＝｛x|x＞0｝,且A∩B＝，求实数p满足的条件．错解:由于A∩B＝，则A＝，所以关于x的方程没有实数根，所以Δ＝22－4(2－p）＜0，解得p＜1.反思：当A∩B＝时，有以下4种情况:①A＝，B＝；②A≠，B＝；③A＝,B≠;④A≠,B≠且A与B没有公共元素．如果已知条件出现A∩B＝时，这4种情况都要考虑到，否则容易出错，如本题忽视了情况④。1（2011·安徽阜阳高三统考)已知集合U＝R，集合M＝｛x｜－1≤x≤2}和N＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x∈N｜－\f（1,2)〈x<3)）的关系的维恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个2已知集合M＝{x∈N＋｜x＜8},N＝｛－1,4，5,7｝，则M∪N等于（）A．｛4,5，7｝B．{1，2,3,4，5,6，7}C．{1,2，3，4，5,6，7，－1，4,5，7｝D．{－1，1,2，3,4，5，6，7}3若集合A，B，C满足A∩B＝A,B∪C＝C，则A与C之间的关系必定是(）A．ACB．CAC．A⊆CD．C⊆A4已知集合A＝｛x｜x－a＞0｝，B＝{x|2－x＜0｝，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________．5(2010·湖南高考）已知集合A＝｛1，2，3｝,B＝｛2，m,4｝，A∩B＝｛2，3｝，则m＝______.答案:基础知识·梳理1．属于A又属于B的所有{x|x∈A，且x∈B}两个集合的所有元素｛x｜x∈A，或x∈B｝【做一做1－1】A因为集合P和Q没有公共元素，因此集合P与Q的交集为.【做一做1－2】A2．＝＝AAAAB【做一做2】－1由于A∩B＝B，则B⊆A。又－1∈B,则－1∈A，又A＝{7，a｝，则有a＝－1.典型例题·领悟【例1】解：A＝｛1，6｝，B＝｛5,6,7,8｝，用Venn图表示集合A，B,如图所示．依据交集的定义，观察可得阴影部分是A∩B＝｛6｝．【例2】解：A＝｛x｜x＞－1}，用数轴表示集合A和B如图所示．则A∪B＝｛x｜x＞－2}．【例3】{0,1006，2012｝解答此题，第一是先利用性质A∪B＝A⇔B⊆A来转化；二是要弄清楚B＝｛x｜mx－2012＝0}≠｛x|x＝eq\f（2012,m)},要注意对m是否为0进行讨论．A＝{x｜x2－3x＋2＝0｝＝｛1，2}，A∪B＝A⇔B⊆A，因此集合B只能为单元素集或。当B＝｛1}时,m－2012＝0，得m＝2012；同理，当B＝｛2｝时,2m－2012＝0，得m＝1006;当B＝时，mx－2012＝0无解，得m＝0.综上，m能取到的所有值所组成的集合为｛0，1006，2012｝．【例4】解：∵A＝｛y｜y＝(x－1）2－4,x∈R}，∴A＝{y|y≥－4｝．∵B＝｛y|y＝－(x－1)2＋14,x∈R}，∴B＝｛y|y≤14}．将集合A，B用数轴表示如下图所示．∴A∩B＝｛y|－4≤y≤14}，A∪B＝R。【例5】解：由题意，得（1)A＝{x|x2＋4x＝0｝＝{0,－4｝．由于A∩B＝B，则有B⊆A,故集合B可能为，{0}，{－4｝,｛0,－4｝．①若B＝，由Δ＝4(a＋1）2－4（a2－1）＜0，得a＜－1;②若B＝{0}，则0∈B，将0代入方程，得a2＝1,即a＝±1.经检验a＝－1满足条件；③若B＝{－4｝，则－4∈B,将－4代入方程，得a2－8a＋7＝0，即a＝1或a＝7.当a＝7时，B＝｛－4，－12｝，当a＝1时，B＝｛0，－4}，不合题意，舍去；④若B＝{0，－4}，则0∈B，且－4∈B，此时a＝1。综合①②③④,得a＝1或a≤－1。（2)因为A∪B＝B，所以A⊆B。又因为A＝｛0,－4}，而B中至多有两个元素，因此应有A＝B，即B＝｛0,－4｝,由（1），得a＝1。【例6】错因分析：当A∩B＝时，若B≠，则A＝或A≠且A与B没有公共元素，错解忽视了A与B没有公共元素的情况，导致出现错误．正解：由于A∩B＝，且B≠，则A＝或A≠且A与B没有公共元素，当A＝时,方程没有实数根，则Δ＝22－4（2－p）＜0，解得p＜1。当A≠且A与B没有公共元素时,设关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0有非正数解x1，x2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δ≥0，,x1＋x2≤0,，x1x2≥0，））所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（22－4(2－p）≥0，，－2<0,，2－p≥0,））解得1≤p≤2.综上，实数p满足的条件为p＜1或1≤p≤2，即p≤2.随堂练习·巩固1．C∵M∩N＝{x｜－1≤x≤2｝∩｛0,1,2｝＝｛0，1,2},∴阴