数学学案：集合的概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修1第一章1。1．了解集合的含义，会使用符号“∈"或“∉”表示元素与集合之间的关系．2．理解集合中元素的特性，重点理解其确定性与互异性．3．熟悉常用数集的符号，尤其要注意空集的含义及表示．1．集合的有关概念一般地，把一些能够____的____的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的____（或____），常用英语大写字母A，B，C，…表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的____(或____)，常用英语小写字母a，b，c，…表示．集合是现代数学中不加定义的基本概念,学习这个概念应注意以下两点：(1)集合是一个“整体”；（2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的．【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是（）A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2011级新本科生D．2011年11月第十九届APEC（亚太经合组织）会议将在夏威夷檀香山举行，所有APEC的成员国2．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果____________,就说a属于A____a属于A不属于如果____________，就说a不属于A____a不属于A元素与集合的联系与区别如下表：【做一做2】已知集合M只含有两个元素2011a，2013－a，且2011∈M，求a的值3．集合中元素的性质特征(1)______，(2)______，(3）______．在处理集合中有关元素的问题时，求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合要求的值．【做一做3－1】若a，a,b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有（)A．6个B．5个C．4个D．3个【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________个元素．4．集合的分类【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集．（1）满足2011＜x＜2013的整数构成的集合;（2）平面α内所有直线构成的集合．5．常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________【做一做5】下列关系表示正确的是()A．0∈N＋B．π∉RC．1∉QD．0∈Z一、集合中元素的特性剖析：确定性：集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．互异性：一个给定集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中,不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中要切记这一性质．无序性:集合中的元素没有顺序，在表示集合时先写哪个元素都可以．二、特殊集合-—空集剖析：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集是一个实实在在的集合,只不过此集合中无任何元素，故称之为空集．如“方程x2＋2＝0的实数根”组成的集合，因为没有适合该集合的元素，故它是空集．要谨防①0＝｛0}，②{0}＝,③｛｝＝的错误，实际上，①0是集合｛0｝的一个元素,可记为0∈{0｝；②表示空集，而｛0｝表示含一个元素0的集合；③{}表示含有一个元素的集合．三、教材中的“思考与讨论”1．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．剖析：不能构成集合．原因是对高个子同学高的程度没有确定的标准，所以无法判定哪些同学符合要求，因此不能构成集合．2．你能否确定，你所在班级中,最高的3位同学构成的集合？剖析：能构成集合．因为班里最高的3位同学是确定的（只要按身高从高到低取前三名即可），将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合．题型一集合中元素的确定性【例1】下列各组对象能构成集合吗？（1)你所在班级的男生；（2)参加2010年广州亚运会的高大运动员；(3）关于x的方程ax2＋1＝0的实数解；（4）从1988年到2012年举办奥运会的城市；（5）所有小的正数；（6）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．分析:“高大”和“小”没有确定的标准，因此（2)（5）的对象不能构成集合，(3)中的方程可能有实数解,也可能没有实数解，当a给定后，其方程解的情况就是确定的．反思：看一组对象能否构成一个集合，只要看这组对象是否是确定的，即任何一个对象，要么在这一组对象中，要么不在这组对象之中，而没有第三种情况出现．题型二集合中元素的互异性【例2】由元素3,x,x2－2x构成集合M，则x应满足的条件是__________．反思：互异性是集合中元素的重要性质，在解决集合中有关元素的问题时，一定要注意利用互异性进行验证．题型三元素与集合的关系【例3】已知集合P中有三个元素a－3，2a－1，a2＋4，且－3∈P，求实数a的值分析：利用－3是集合P中的元素，可列方程求a的值，最后需验证集合中元素的互异性．反思：在根据元素与集合的关系解题时,一定要注意最后代入检验,看是否符合题意及元素的互异性等性质．1下列各组对象，能构成集合的是(）A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B．平面内两边之和小于第三边的三角形C．新华书店中有意义的小说D．π（π＝3。141…)的近似值的全体2由a2，2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）A．1B．－2C．6D．3集合A是由点（2011,2012）和点（2012，2011)构成的,则A中有__________个元素．4设L(A，B)表示直线AB上所有点组成的集合，“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成P__________L(A，B）．5判断下列说法是否正确,并说明理由．（1）1，eq\f(3，2)，eq\f（6,4），eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2））)，eq\f（1，2)这些数组成的集合有5个元素;(2）方程(x－3)（x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素．答案：基础知识·梳理1．确定不同集合集元素成员【做一做1】A因为选项B,C,D中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能构成集合．2．a是集合A的元素a∈Aa不是集合A的元素a∉A【做一做2】解：∵2011∈M，∴2011a＝2011或2013－a＝2011.解得a＝1或a＝2.∴a的值为1或2。3．（1)确定性（2)互异性(3)无序性【做一做3－1】C由集合元素的互异性，知集合M中的元素最多为a，b，a2，b2，且4个元素互不相等．【做一做3－2】14．有限集无限集【做一做4】解：(1）满足2011＜x＜2013的整数仅有2012一个，故此集合是有限集．(2)无限集．5．NN＋或N＊ZQR【做一做5】D典型例题·领悟【例1】解：（1)（3）（4)(6)可以构成集合；(2）（5)不能构成集合．【例2】x≠3且x≠0且x≠－1由集合中元素的互异性可得出3,x,x2－2x互不相等，由此可求出x应满足的条件．即由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠3，，x2－2x≠3，,x2－2x≠x,)）解得x≠3且x≠0且x≠－1。【例3】解：∵－3∈P，a2＋4≥4,∴a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1。经检验a＝0时,P中三个元素为－3,－1，4，满足集合中元素的互异性；a＝－1时，P中三个元素为－4,－3,5，也满足集合中元素的互异性．综上，a的值为0或－1.随堂练习·巩固1．B选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B为，故能构成集合．2．C代入验证如下:当a＝1时,a2＝2－a;当a＝－2时,a2＝2－a＝4；当a＝2时，a2＝4，所以1,－2，2均不能满足集合A中元素的互异性,而a＝6时，a2＝36，2－a＝－4，故选C.3．2因为点的坐标是有顺序性的,所以集合A中有2个点，即A中有2个元素．4．∈5．解：(1)不正确．对于一个给定