数学学案：互动课堂第一讲三简单曲线的极坐标方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂重难突破本课时的重点、难点是求曲线的极坐标方程,要重点掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程。一、在极坐标系中，平面曲线的极坐标方程f（ρ，θ）=0。1.一般地,在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）=0,并且坐标适合方程f(ρ，θ）=0的点都在曲线C上，那么方程f（ρ，θ）=0称为曲线C的极坐标方程。2。在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x、y的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f（ρ，θ）=0来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程.3。求曲线的极坐标方程的方法、步骤和求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹；将已知条件用曲线上点的极坐标ρ、θ的关系式f(ρ，θ)=0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.具体如下：(1）建立适当的极坐标系，设P(ρ,θ）是曲线上任意一点；（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；（3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程；（4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.注意:(1）在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式，常用解三角形(正弦定理，余弦定理）的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系。此法称作三角形法。(2)在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件,将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.二、用极坐标与直角坐标来表示点和曲线的区别.1。对极径ρ〈0的理解。根据极径定义，极径是距离，当然是正的。极径是负的，等于极角增加π。负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向"，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。如：直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的。一般情况下,如果不作特殊说明，极径都指的是正的.2.在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ,θ)只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ，θ）对应。例如(ρ,2nπ+θ）与（-ρ,(2n+1）π+θ)(n∈Z）表示的是同一个点，所以点与极坐标(ρ,θ）不是一一对应的。3。在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程）。可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应.如θ=(ρ∈R)与θ=（ρ∈R)表示同一条直线.4.在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。例如给定曲线ρ=θ,设点P的一极坐标为（,),那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标（，）就不适合方程ρ=θ了。所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上,当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程。三、以下几种特殊位置的直线的极坐标方程是要掌握的.1.过点（a,0)(a>0）且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=a。2。过点（a,π)（a>0）且垂直于极轴的直线方程是ρcosθ=-a，如图（1）。3.过点（a，)(a>0)且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=a,如图(2)。4.过点(a,)(a〉0）且平行于极轴的直线方程是ρsinθ=-a，如图(3）.5。过极点倾角为α的直线方程是θ=α（ρ∈R).(1）(2)（3）四、以下几种特殊位置的圆的极坐标方程也需要掌握.1.以极点为圆心且半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.2。过极点且圆心坐标为(a,0）(a>0）的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.3。过极点且圆心坐标为（a，π)(a〉0）的圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ，如图（1）。4.过极点且圆心坐标为（a，）(a〉0）的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ，如图（2）.5.过极点且圆心坐标为（a，）(a>0）的圆的极坐标方程为ρ=-2asinθ,如图（3).(1）（2)(3）活学巧用【例1】求：（1)过A(2，)且平行于极轴的直线方程；(2)过A(3,)且和极轴成的直线方程.解析:(1）在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.我们可以通过图中的直角三角形来解决，因为已知OA的长度,还知∠AOx=，还可以得到MH的长度，从而在Rt△OMH中找到变量ρ、θ之间的关系.（2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.解:（1）如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ），∵A（2,),∴｜MH｜=2·sin=,在Rt△OMH中，|MH|=｜OM｜sinθ，即ρsinθ=,∴过A（2,）且平行于极轴的直线方程为ρsinθ=。（2)方法一：如图所示,A(3，），｜OA｜=3,∠AOB=，由已知∠MBx=，∴∠OAB=∴∠OAM=π—。又∠OMA=∠MBx-θ=—θ，在△MOA中，根据正弦定理得∵sin=sin(＋）=,将sin（-θ）展开,化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=∴过A(3,)且和极轴成的直线方程为ρ（sinθ+cosθ)=方法二:利用教材P15例3的结论可得ρsin(—θ)=ρsin（-)=3sin点评:可以看到，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简。【例2】判断点（-）是否在曲线ρ=cos上？解析：在极坐标系内，判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程时，我们还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解:∵点(-)和点（）是同一点，而cos=cos=,∴点()在曲线ρ=cos上,即点（-）在曲线ρ=cos上。点评:我们容易根据直角坐标系的习惯,当把点的坐标代入,不满足方程时就说点不在曲线上，这是不对的。在这个问题上,两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点(-）并不满足ρ=cos，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.【例3】设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程.解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系,如图。设定圆O的半径为r，OM=a，P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA，∴｜MA｜2+|MP|2=|PA|2，由余弦定理可知｜MA｜2=a2+r2-2arcosθ，｜MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ,而|PA｜=r—ρ,由此可得a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r—ρ)2，整理化简，得ρ=点评：寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为三角形法。若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程。【例4】极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是()A。2B.2C。1D。解法一：两圆圆心的极坐标分别是(，0）和（，）,这