数学学案：互动课堂第二讲一圆周角定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂重难突破一、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的，当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况,一是圆心在圆周角内，二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立。在几何里,许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理。另外，通过这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决，如图2-1-1中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C很容易证明。特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图2—1-1左图和右图的情况,通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证。定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图2-1—1二、圆周角定理的两个推论推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.如图2—1—2,∠ABE=∠ACE=∠ADE,∠A=∠B=∠C.图2—1-2推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图2—1-3，∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°,AB是直径.图2—1-3圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据,而且对于角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等,判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会.三、刨根问底问题1在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系,在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？探究：在圆中，只要有弧,就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推论提供了条件。但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识或困难，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角,如图2-1—4中，已知，那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E。也可以由角找弧，再由弧找角，如图2—1—5中,AD平分∠BAC，得∠1=∠2，∠1对，∠2对,∠3也对CD，故∠1=∠2=∠3,如果要证△DBE∽△DAB,无疑两个相等的角为此提供了条件.图2-1—4图2—1-5问题2在圆中,直径所对的圆周角等于90°，解决问题时,应怎样利用这一条件？探究:只要在已知中给出了直径这一条件,一是要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角,便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了。如图2-1-6，以CD为直径的⊙O交△ACD的两边于B、E,连结BE.求证:ADcosA=AB.图2—1-6此题必须先证AD、AB所在△ABD为直角三角形，此时连结BD,可由直径所对的圆周角为90°，创设了所需的条件.又如图2—1—7，在⊙O中，直径AB⊥CD，弦AE⊥CF。要证△ABE≌△CDF，在知∠A=∠C,AB=CD时，缺少一个条件,由AB、CD为直径，想到连结BE、CF,便可知∠E=∠F=90°，这就为证三角形全等提供了条件.活学巧用【例1】如图2-1-8,已知⊙O中,∠AOB=2∠BOC。求证:∠ACB=2∠BAC.图2-1-8思路解析：圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对同一条弧,所以∠ACB=∠AOB,同理，∠BAC=∠BOC,再利用已知条件可得结论.证明:∠ACB=∠AOB，∠AOB=2∠BOC,∠ACB=∠BOC，∠BAC=∠BOC∠ACB=2∠BAC.【例2】如图2—1-9，已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数为…（)图2-1-9A.80° B.100° C.120° D。130°思路解析:要求∠ACB,只需求所对的圆心角,然后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解.解:∵∠AOB=100°,∴所对的圆心角为260°，∠ACB=130°。故选D.【例3】如图2-1—10,以AB为直径的半圆上任取两点M和C，过点M作MN⊥AB，交AC延长线于E,交BC于F.求证:MN是NF和NE的比例中项.图2—1—10思路解析:题目即证MN2=NF·NE，连结AM、BM，从而构造出Rt△AMB，但MN、NE、NF共线，无法由相似三角形直接证得,因此要考虑用等积式或等比式过渡。注意到MN⊥AB,∴MN2=AN·BN,下面只需证AN·BN=NE·NF，这可以由△AEN与△BFN相似证得.证明：连结AM、BM，∵AB为直径,∴∠AMB=90°。又MN⊥AB，∴△AMN∽△MBN。∴MN2=AN·BN。又FN⊥AB，∴∠E+∠EAB=90°.∴∠E=∠ABC。又∠ENA=∠FNB=90°，∴△AEN∽△FBN.∴=，即AN·BN=NE·NF。∴MN2=NE·NF，即MN为NE和NF的比例中项。【例4】如图2-1-11，在Rt△ABC中,∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E点,D为AC的中点,连结BD交⊙O于F点。求证:=。图2-1—11思路解析:要证=,虽然四条线段分别在△BEF与△BCF中，但这两个三角形一个是钝角三角形,另一个是直角三角形,不可能相似,故只能够借助中间比。证明：连结CE，∵BC为⊙O的直径，∴∠BFC=90°，∠BEC=90°。又∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠A。又∵∠BF=∠BCE，∴∠BFE=∠A。∴△BEF∽△BAD.∴=。∵∠BFC=∠BCA,∠CBD=∠CBD，∴△CBF∽△DBC.∴=.又∵AD=CD,∴=.【例5】AB为⊙O中的一条长为4的弦,P为⊙O上的一动点,cos∠APB=。问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由。若存在，求出这个三角形的面积.思路解析:因为AB为定值，要使S△APB最大,只要AB边上的高最大，所以P在弓形的最高点即可,又∠APB为定值，根据圆周角定理的推论,想到构造直角三角形，使其一锐角等于∠APB.图2-1-7解法一:存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形.图2—1-12∵cos∠APB=，∴∠APB≠90°。∴AB不是直径。过O作AB的垂线并延长,分别交优弧和劣弧的中点于P、Q，且PD、QD为弓形的高，∴P为优弧中点时,△APB面积最大，作⊙O直径AC,连结BC,则∠ABC=90°，∠APB=∠C,∴cos∠APB=cosC==。设BC=x,则AC=3x，在Rt△ABC中,AB=4,由勾股定理AC2=AB2+BC2，∴(3x）2=42+x2,解得x=2.∴BC=2，AC=32.∴.∵AO=OC，AD=BD,∴.∴PD=PO+OD=+=.∴S△APB=AB·PD=×4×2=。解法二:同解法一,P为优弧中点时,△AP