数学学案：互动课堂第二讲三直线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂重难突破本课时重点是对直线参数方程的理解,关键是理解参数t的几何意义，难点是应用直线的参数方程解决相关问题.一、直线参数方程的意义相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征.判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式,方便运算。又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷.用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来,特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式,使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养.二、直线参数方程的形式对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程。例如，对于直线普通方程y=2x+1，如果令x=t即可得到参数方程（t为参数)；如果令x=2t则得到参数方程(t为参数)。这样随便给出的参数方程中的参数t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中也能简化某些运算.而过定点M0(x0，y0）、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为（t为参数），我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t表示直线l上以定点M0为起点,任意一点M(x，y）为终点的有向线段的数量且cos2α+sin2α=1是标准参数方程的基本特征。三、直线参数方程中参数的几何意义1.对于一般的参数方程，其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点M0(x0，y0）、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成为x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t为参数）,其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量,也就是:(1)直线l上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值,即｜M0M|=｜t｜。（2)若t>0,则M0M的方向向上;若t〈0，则M0M的方向向下；若t=0，则点M与点M2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角。根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式,根据方程就可以判断出倾斜角，例如x=2+tcos20°，y=-4+tsin20°（t为参数),可以直接判断出直线的倾斜角是20°.但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了.例如判断直线x=tsin20°+3，y=—tcos20°（t为参数）的倾斜角，有两种方法:第一种方法:化为普通方程,求倾斜角。把参数方程改写成消去t，有y=-（x-3)cot20°，即y=(x-3)tan110°，所以直线的倾斜角为110°。第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程令-t=t＇,则所以直线的倾斜角为110°。3.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法。给出直线的非标准式参数方程(t为参数)，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值,根据三角函数的性质,知其平方和为1,所以可以化为2(t为参数)，再近一步令,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π）范围内取值，并且把看成相应的参数t＇，即得标准式的参数方程(t＇为参数).由转化的过程可以看出,在一般参数方程(t为参数)中，具有标准式参数方程中参数的几何意义。所以有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用,求出相应的t,再乘以即可继续使用参数的几何意义。四、根据直线的参数方程，判断直线间的平行和垂直等问题对于斜率存在的直线方程,主要从斜率的关系进行考虑,根据斜率进行判断。而直线的参数方程可以和普通方程之间进行互化，所以对于直线的参数方程也可以找到直线平行和垂直的关系.下面分别对直线参数方程的一般形式和标准形式进行说明.首先给出直线l1的参数方程（t为参数)和直线l2的参数方程（t为参数）。先考虑直线斜率都存在（b1和b2都不为0）的情况：直线l1和l2的斜率分别为和.如果斜率相等即＝a1b2-a2b1=0且两条直线不重合时,直线l1和l2平行。如果斜率都不存在即b1=b2=0时，如果两条直线不重合，则一定有直线l1和l2平行，代入上式仍然成立。所以可得一般性结论:如果不重合的两条直线l1和l2平行，那么a1b2—a2b1=0，反之也成立，即不重合的直线l1∥l2a1b2—a2b1=0。由两条直线垂直的条件知斜率存在的直线斜率乘积应为—1,即=-1a1a2+b1b2=0.并且易证，对于斜率不存在的情况上式也正确。所以若直线l1和l2垂直，则a1a2+b1b2=0，反之也成立，即l1⊥l2a1a2+b1b2=0.对于标准方程，由于容易看出直线的倾斜角，所以可以直接根据倾斜角来判断直线的平行和垂直.五、根据标准参数t的几何意义解题时，有如下常用结论1。直线与圆锥曲线相交,交点分别对应t1、t2，则弦长l=|t1—t2|.2.弦的中点M对应的参数tm=3。若直线的定点P0（x0，y0）恰是弦的中点，则t1+t2=0,反之亦然。活学巧用【例1】写出直线2x-y+1=0的参数方程,并求直线上的点M（1，3)到点A（3,7)、B（8,6)的距离。解析：要写出参数方程，首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2，设直线的倾斜角为α,则tanα=2，则sinα=,cosα=，根据后边要求的点M恰好在直线上，为了后边的运算方便,选择M作为直线上的定点。要求点M到A、B的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.解:根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tanα=2，sinα=，cosα=，所以直线的参数方程是（t为参数)。经验证易知点A(3，7)恰好在直线上,所以有1+t=3，即t=5，即点M到点A的距离是5.而点B（8,6)不在直线上，所以不能使用参数t的几何意义,可以根据两点之间的距离公式求出距离为点评:本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误：①转化参数方程时不注意后边的题目内容，随便取一个定点；②把点B（8，6)当成直线上的点很容易由1+t=8,得t=.【例2】设直线的参数方程为（t为参数),点P在直线上,且与点M0（—4，0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成（t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为（）A。±1B.0C.±D。±解析：由｜PM0|=，知PM0=或PM0=—,即t=±代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为（-3，1）或(—5，—1)；再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=—1。答案：A点评:直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，合理使用其几何意义，可以简化运算，使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.【例3】求直线l1：(t为参数）与直线l2：x+y-2=0的交点到定点（4,3)的距离。解：∵l1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l1的参数方程改写成（t＇为参数）.把l1的参数方程的标准形式代入x+y-2=0中，得4+t＇+3+t＇—2=0.解得t＇=—，∴｜t＇｜=.由|t＇｜的几何意义为交点到点(4，3）的距离,∴所求的距离为|t＇｜=.【例4】求经过点（1，1），倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长。解析：首先可以根据条件写出直线的参数方程(t为参数)，代入椭圆的方程可得一个关于t的二次方程,根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值。解：由条件可知直线的参数方程是（t为参数)，代入椭圆方程可得，即5t2+62t+2=0.设方程的两实根分别为t1、t2,则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1-t2|=点评:本题主要使用参数方程中两点的距离公式，易错的地方是:转化参数方程时，计算135°的正弦和余弦值时出错，再者就是距离公式不会灵活使用，而一味地要使用参数的几何意义。【例5】已知直线l过点P（3，2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点,求｜PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程。解析：本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算.解:设直线的倾斜角为α，则它的方程为(t为参数）,由A、B是坐标轴上的点知yA=0，xB=0，∴0=2+tsinα，即｜PA|=|t|=;0=3+tcosα，即｜PB|=|t｜=-故｜PA｜·|PB|=∵90°<α〈180°，∴当2α=270°，即α=135°时，｜PA｜·｜PB|有最小值.∴直线方程为（t为参数)，化为普通方程即x+y—5=0.点评：直线的参数方程和普通方程可以进行互化，特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.【例6】设直线l过点P（—3,3），且倾斜角为.（1)写出直线l的参数方程;（2)设此直线与曲线C:(θ为参数）交于A、B两点,求|PA｜·|PB｜;（3)设A、