北京市第五实验教育集团、钱学森中学教育集团联合2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市第五实验教育集团、钱学森中学教育集团联合九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。1．（2分）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（）A．y＝2（x+3）2+1 B．y＝2（x﹣3）2﹣1 C．y＝2（x+3）2﹣1 D．y＝2（x﹣3）2+13．（2分）把如图中的三角形A（）可以得到三角形B．A．．先向右平移5格，再向上平移2格 B．．先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格 C．．先以直角顶点为中心顺时针旋转90°，再向右平移5格 D．．先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°4．（2分）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣35．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（）A．35° B．70° C．110° D．140°6．（2分）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD＝DC，则弦AB的长为（）A． B． C． D．7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．35°8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝，经过点A（2，0）．以下结论：①﹣＞0；②b2﹣4ac＝0；③abc＜0；④a+b+c＜0；⑤若（，y1），（﹣，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9．（2分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝．10．（2分）抛物线y＝3（x+2）2+1的顶点坐标是．11．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，则2023﹣6m2+9m的值为．12．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．（2分）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．14．（2分）如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8cm，EB＝4cm，则OG＝cm．15．（2分）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝12，BC＝5，则AG的长为．三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解方程：（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB＝3，OC＝2，求AO的长．20．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2，求原正方形空地的边长．22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（5，2），B（5，5），C（1，1）．（1）△ABC向左平移3个单位得到的△A1B1C1，则点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为A1（），B1（），C1（）．（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C．（3）请计算四边形ACA2B2的面积．23．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元（x≥100），每小时的销售利润为w元．（1）求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．24．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E．（1）求证：点D为的中点；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？26．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．（1）用含a的代数式表示b为；（2）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求此时a的值；（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＜2时，求a的取值范围．27．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为；（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．28．定义：函数图象G上的点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差y﹣x叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象G的“幸福值”如：抛物线y＝x2上有点P（4，16），则点P的“双减差”为12；而抛物线y＝x2上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：（1）已知函数图象上点P的横坐标x＝1，求点P的“双减差”y﹣x的值；（2）若直线y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”为k2（k＞1），求k的值；（3）设抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9，当时，抛物线y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．

2024-2025学年北京市第五实验教育集团、钱学森中学教育集团联合九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。1．（2分）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A）A． B． C． D．2．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（A）A．y＝2（x+3）2+1 B．y＝2（x﹣3）2﹣1 C．y＝2（x+3）2﹣1 D．y＝2（x﹣3）2+13．（2分）把如图中的三角形A（B）可以得到三角形B．A．．先向右平移5格，再向上平移2格 B．．先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格 C．．先以直角顶点为中心顺时针旋转90°，再向右平移5格 D．．先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°4．（2分）方程x2+4x+3＝0的两个根为（D）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣35．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（D）A．35° B．70° C．110° D．140°6．（2分）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD＝DC，则弦AB的长为（B）A． B． C． D．7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（C）A．20° B．25° C．30° D．35°8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝，经过点A（2，0）．以下结论：①﹣＞0；②b2﹣4ac＝0；③abc＜0；④a+b+c＜0；⑤若（，y1），（﹣，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中结论正确的是（B）A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9．（2分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝﹣2．10．（2分）抛物线y＝3（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．11．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，则2023﹣6m2+9m的值为2020．12．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是k≠0且k≤1．13．（2分）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需20秒．14．（2分）如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8cm，EB＝4cm，则OG＝2cm．15．（2分）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是m＞4或m＝0．．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝12，BC＝5，则AG的长为．三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解方程：（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．解：[（x+2）﹣3][（x+2）+1]＝0，（x+2）﹣3＝0或（x+2）+1＝0，所以x1＝1，x2＝﹣3．18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＞﹣，故m的取值范围是m＞﹣；（2）x+x+x1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0，解得m1＝，m2＝﹣2，∵m＞﹣，∴m的值为．19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB＝3，OC＝2，求AO的长．解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转的性质可知，CO＝CD，∵∠ACB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，CD＝OC＝2，由（1）可知，△COD是等边三角形，∠ODC＝60°，∴OD＝OC＝2，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴，∴AO的长为．20．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2，求原正方形空地的边长．解：设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（5，2），B（5，5），C（1，1）．（1）△ABC向左平移3个单位得到的△A1B1C1，则点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为A1（2，2），B1（2，5），C1（﹣2，1）．（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C．（3）请计算四边形ACA2B2的面积．解：（1）∵△ABC向左平移3个单位得到的△A1B1C1，A（5，2），B（5，5），C（1，1），∴A1（2，2），B1（2，5），C1（﹣2，1）．故答案为：2，2；2，5；﹣2，1．（2）如图，△A2B2C即为所求．（3）四边形ACA2B2的面积为＝6+10＝16．23．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元（x≥100），每小时的销售利润为w元．（1）求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意得，y＝40+2（150﹣x）即y＝340﹣2x（100≤x＜150），∴w＝（x﹣100）（340﹣2x）即w＝﹣2x2+540x﹣3400（100≤x＜150）（2）由题意得，（x﹣100）（340﹣2x）＝2400，整理得x2﹣270x+18200＝0，解得x1＝140，x2＝130，∵要让利顾客，∴x＝130，答：销售价应定为每件130元；（3）w＝（x﹣100）（340﹣2x）＝340x﹣34000﹣2x2+200x＝﹣2x2+540x﹣34000＝﹣2（x﹣135）2+2450（100≤x＜150）∵﹣2＜0，∴当x＝135时，w有最大值，w最大＝2450，答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元．24．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E．（1）求证：点D为的中点；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．解（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，∴BE＝EC＝4，∴BC＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，∴，∴OD＝OB＝5，∴，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入64a+8＝6解得：a＝﹣．抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．（2）根据题意，把x＝4代入解析式，得y＝7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．26．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．（1）用含a的代数式表示b为1﹣4a；（2）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求此时a的值；（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＜2时，求a的取值范围．解：（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx得，16a+4b＝4，∴b＝1﹣4a．（2）由题意得，，∴．（3）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4），∴16a+4b＝4．∴b＝1﹣4a．令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．∴ax2+（1﹣4a）x＝0．∴x[ax﹣（4a﹣1）]＝0．∵a≠0，∴x1＝0，．∵d＜2，∴4﹣＜2，或4﹣＞﹣2．∴＞2或＜6．∴＜a＜且a．27．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为：S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）（1）中的结论成立；证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND，∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，在△DME与△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（3）连接DC，证明：同