2024-2025学年江西省景德镇市乐平中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省景德镇市乐平中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=(4−2i)(2+3i)的虚部为(

)A.14 B.−8 C.8 D.8i2.已知A(1,1)，B(7,4)，若点C是靠近点B的三等分点，则C的坐标为(

)A.(5,3) B.(3,2) C.(6,2) D.(9,5)3.若动点M到定点F1(0,−1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点MA.椭圆 B.直线F1F2

C.线段F1F4.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)A.4

B.23

C.25.已知sinα+sinα+π3A.79 B.−79 C.26.已知函数f(x)=cosx−cos2x，试判断该函数的奇偶性及最大值(

)A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为7.已知圆C1：(x+3)2+(y−5)2=1，圆C2：(x−6)2+(y−3)2=4，M，NA.6 B.10 C.13 D.168.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1.P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．

①当0<CQ<12时，S为四边形；

②当CQ=34时，S与C1D1的交点R满足C1R=13；

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内部一点，则AB⋅AP的值可以是(

)A.−2 B.0 C.4 D.810.已知直线l1：ax−y+2=0，直线l2：x−ay+2=0，则(

)A.当a=0时，两直线的交点为−2,2 B.直线l1恒过点0,2

C.若l1⊥l2，则a=0 D.若11.已知点P、Q是圆O：x2+y2=5上的两个动点，点A是直线l：x+y−4=0上的一定点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A.(1,3) B.(2,2) C.(3,1) D.(4,0)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanα=3，则tan(α+π413.若平面上两点A(−2,0)，B(1,0)，则l：y=k(x−1)上满足|PA|=2|PB|的点P的个数为______．14.已知△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，点D为边AC上一点，cosB=13.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,−1)、F2(0,1)，点A1、A2分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且316.(本小题12分)

过点P(2,1)作直线l分别交x，y的正半轴于A，B两点．

(1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程；

(2)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求直线l的方程．17.(本小题12分)如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB=2DC=2BC，将△ADE沿DE折起形成四棱锥A−BCDE．(1)求证：DE⊥平面ABE(2)若二面角A−DE−B为60∘，求二面角A−DC−B的正切值．18.(本小题12分)

已知圆C：x2+y2−tx−2y=0(t>0)分别与x轴、y轴交于点P，Q(均异于坐标原点O)，过点E(1,0)作两条直线l1，l2，斜率分别为k1，k2，且k1=−1k2，直线l1与y轴交于点F，直线l2与圆C交于A，B两点．

(1)若P(6,0)，|AB|=619.(本小题12分)

设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a−b=b−c，则称A为“等差集”．

(1)若集合A={1,3,5,9}，B⊆A，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；

(2)若集合A={1,m,m2−1}是“等差集”，求m的值；

(3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.A

6.D

7.B

8.B

9.BC

10.ABC

11.AC

12.−2

13.2

14.315.解：(1)已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,−1)、F2(0,1)，

则c=1，

又因为3a2=4b2a2=b2+c2，

即3a2=4b2a2=b2+1，16.解：(1)依题意设A(a,0)，B(0,b)，(a,b>0)，

设直线l的方程为xa+yb=1，代入P(2,1)得2a+1b=1，

所以2a+1b=1≥22ab，则ab≥8，当且仅当2a=1b，即a=4、b=2时取等号，

从而S△AOB=12ab≥4，当且仅当2a=1b，即a=4、b=2时取等号，

此时直线l的方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0，

所以(S△AOB)min=4，此时直线l的方程为x+2y−4=0；

(2)依题意直线l的斜率存在且k<0，设直线l：17.证明：(1)在直角梯形ABCD中，

因为DC/​/BE，且DC=BC=BE，

故四边形BCDE为正方形，

所以DE⊥EB，DE⊥EA．在四棱锥A−BCDE中，

又EA∩EB=E，EA，EB⊂平面ABE，

所以DE⊥平面ABE．解：(2)由(1)，知∠AEB为二面角A−DE−B的平面角，

故∠AEB=60又AE=EB，

所以△AEB为等边三角形．如图，取BE的中点F，CD的中点G，连接AF，FG，AG，

则AF⊥BE，FG/​/DE，

又BE/​/CD，DE⊥CD，所以AF⊥CD，FG⊥CD，AF∩FG=F，AF，FG⊂平面AFG，所以CD⊥平面AFG，

又AG⊂平面AFG，因此CD⊥AG．所以∠FGA为二面角A−DC−B的平面角．因为DE⊥平面ABE，

所以FG⊥平面ABE，

又AF⊂平面ABE，所以FG⊥AF．

可设AB=2DC=2BC=2，则在等边△AEB中求得AF=32，

所以在Rt△AFG中，可求得tan∠FGA=即二面角A−DC−B的正切值为3

18.解：(1)将P(6,0)代入圆C的方程，解得t=6，

所以圆C的方程为x2+y2−6x−2y=0，即(x−3)2+(y−1)2=10，

所以圆心坐标为(3,1)，半径r1=10．

根据题意得，直线l2的方程为y=k2(x−1)，即k2x−y−k2=0，

所以圆心到直线l2的距离d1=|2k2−1|k22+1．

因为|AB|=6，所以6=2r12−d12=210−(|2k2−1|k22+1)2，解得k2=0(舍)或k2=43，

故直线l2的方程为4x−3y−4=0．

(2)令x=0，y=0，得P(t,0)，Q(0,2)，

所以直线PQ方程为xt+y2=1，即2x+ty−2t=0．19.解：(1)因为集合A={1,3,5,9}，B⊆A，存在3个不同的元素a，b，c∈B，使得a−b=b−c，

则B={1,3,5,9}或B={1,3,5}或B={1,5,9