现代控制理论基础-线性多变量系统的运动分析

PAGEPAGE18线性多变量系统的运动分析在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵和输入矩阵中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。1线性系统状态方程的解给定线性定常系统非齐次状态方程为Σ：(1）其中，，且初始条件为。将方程（1）写为在上式两边左乘，可得将上式由O积分到t，得故可求出其解为 (2a)或(2b)式中为系统的状态转移矩阵。对于线性时变系统非齐次状态方程，(3）类似可求出其解为(4)一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。2状态转移矩阵的性质定义1时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件 (5)的解。下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：1、；2、；3、；4、当给定后，唯一；5、计算时变系统状态转移矩阵的公式(6a)上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足即在矩阵乘法可交换的条件下，才可表示为如下矩阵指数函数形式 (6b)显然，定常系统的状态转移矩阵不依赖于初始时刻，其性质仅是上述时变系统的特例。[例2．1]试求如下线性定常系统的状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆。[解]对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定由于其逆矩阵为因此=由于，故可求得状态转移矩阵的逆为[例2]求下列系统的时间响应：式中，为时作用于系统的单位阶跃函数，即。[解]对该系统状态转移矩阵已在例1中求得，即因此，系统对单位阶跃输入的响应为：或如果初始状态为零，即,可将简化为3向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。 考虑维矩阵及其特征方程凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即 (7)为了证明此定理，注意到的伴随矩阵是的次多项式，即式中，。由于可得从上式可看出，和(i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果及其伴随矩阵中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用代替λ，显然为零。这样即证明了凯莱-哈密尔顿定理。3.2最小多项式按照凯莱-哈密尔顿定理，任一维矩阵满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义维矩阵的最小多项式为最小阶次的多项式，即使得，或者最小多项式在维矩阵多项式的计算中起着重要作用。假设λ的多项式是的伴随矩阵的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式由下式给出： (8)注意，维矩阵的最小多项式可按下列步骤求出：1、根据伴随矩阵，写出作为λ的因式分解多项式的的各元素；2、确定作为伴随矩阵各元素的最高公约式。选取的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则；3、最小多项式可由除以得到。4矩阵指数函数的计算 前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数。如果给定矩阵中所有元素的值，MATLAB将提供一种计算的简便方法，其中T为常数。除了上述方法外，对的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四种计算方法。4.1方法一：直接计算法(矩阵指数函数) (9)可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。4.2方法二：对角线标准形与Jordan标准形法 若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么可由下式给出式中，P是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵。类似地，若矩阵可变换为Jordan标准形，则可由下式确定出（11)[例3]考虑如下矩阵[解]该矩阵的特征方程为因此，矩阵有三个相重特征值。可以证明，矩阵A也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A变换为Jordan标准形的变换矩阵为矩阵的逆为于是注意到可得即4.3方法三：拉氏变换法 (12)为了求出，关键是必须首先求出的逆。一般来说，当系统矩阵的阶次较高时，可采用递推算法。[例4]考虑如下矩阵A试用前面介绍的两种方法计算。[解]方法一由于的特征值为0和-2（λ1=0，λ2=-2），故可求得所需的变换矩阵为因此，由式(10）可得 方法二由于可得因此4.4方法四：化为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法) 第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化为的有限项，然后通过求待定时间函数获得的方法。必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。设的最小多项式阶数为。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式 (13)即可求出。利用式(13）求解时，所得是以(k=0,1,2,…,m-1)和(i=1,2,3,…，m)的形式表示的。此外，也可采用如下等价的方法。将式(13)按最后一行展开，容易得到（14）从而通过求解下列方程组：·· (15)·可确定出(k=0,1,2…，m-1)，进而代入式(14)即可求得。如果A为n×n维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的的个数为m=n，即有（16）如果A含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的的个数小于n，这里将不再进一步介绍。[例5]考虑如下矩阵试用化为A的有限项法计算。[解]矩阵A的特征方程为可得相异特征值为λ1=0，λ2=-2。由式(13），可得即