统考版2025届高考数学一轮复习第六章6.1数列的概念与简单表示法课时作业理含解析

PAGE课时作业29数列的概念与简洁表示法[基础达标]一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.eq\f(－1n＋1,2)B．coseq\f(nπ,2)C．coseq\f(n＋1,2)πD．coseq\f(n＋2,2)π2．[2024·重庆一中测试]已知数列{an}满意a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，则{an}(n≥2)的通项公式为an＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－3D．3－2n3．[2024·甘肃兰州检测]已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝()A.eq\f(3n＋1－9,2)B.eq\f(3n＋1－7,2)C.eq\f(3n－7,2)D.eq\f(3n－9,2)4．[2024·天津一中月考]在各项均为正数的数列{an}中，a1＝2，aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1an－3aeq\o\al(2,n)＝0，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝242，则n＝()A．5B．6C．7D．85．[2024·湖北武汉武昌试验中学月考]两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上探讨数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，依据点或小石子能排列的形态对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{an}，则()A．an＋1＋an＝n＋2B．an＋1－an＝n＋2C．an＋1＋an＝n＋3D．an＋1－an＝n＋36．[2024·吉林辽源月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，则Sn＝()A．nB．n＋1C.eq\f(1,n)D.eq\f(1,n＋1)7．[2024·上海第七中学月考]在数列{an}中，已知a1＝1，且数列{an}的前n项和Sn满意4Sn＋1－3Sn＝4，n∈N*，则an＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1B.eq\f(3n,4n－1)C．4－eq\f(3n,4n－1)D．4＋eq\f(3n,4n－1)8．[2024·辽宁锦州八中月考]已知数列{an}满意：a1＝eq\f(1,7)，对随意正整数n，an＋1＝eq\f(7,2)an(1－an)，则a2024－a2024＝()A.eq\f(4,7)B.eq\f(3,7)C．－eq\f(4,7)D．－eq\f(3,7)9．[2024·山西河津二中月考]设数列{an}满意a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)(n∈N*)，则{an}的通项公式为an＝()A.eq\f(1,2n)B.eq\f(1,2n－1)C.eq\f(1,2n)D.eq\f(1,2n＋1)10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题11．若数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n,n＋1)，那么这个数列是________数列．(填“递增”或“递减”或“摇摆”)12．[2024·湖北八校联考]已知数列{an}满意an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，若a4＝65，则a1＝________.13．[2024·辽宁大连检测]数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.14．[2024·湖北武汉部分重点中学联考]已知an＝eq\f(n－7,n－5\r(2))(n∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝________.[实力挑战]15．[2024·黑龙江哈师大附中月考]设数列{an}满意a1＝2，且对随意正整数n，总有(an＋1－1)(1－an)＝2an成立，则数列{an}的前2024项的乘积为()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．316．[2024·福建泉州一中检测]已知数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－an－3，n≤7，,an－6，n>7))(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．(3,6)B．(1,2)C．(1,3)D．(2,3)17．[2024·开封市第一次模拟考试]若数列{an}满意a2－eq\f(1,2)a1＜a3－eq\f(1,2)a2＜…＜an－eq\f(1,2)an－1＜…，则称数列{an}为“差半递增”数列．若数列{an}为“差半递增”数列，且其通项an与前n项和Sn满意Sn＝2an＋2t－1(n∈N*)，则实数t的取值范围是________.课时作业291．解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D项正确．答案：D2．解析：∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故选B项．答案：B3．解析：∵a1＝1，an＝an－1＋3n(n≥2，n∈N*)，∴a2－a1＝32，a3－a2＝33，a4－a3＝34，…，an－an－1＝3n，累加得an－1＝32＋33＋…＋3n，∴an＝eq\f(3n＋1－7,2)，故选B项．答案：B4．解析：由aeq\o\al(2,n＋1)－2an＋1an－3aeq\o\al(2,n)＝0，得(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，即an＋1＝3an或an＋1＝－an，又{an}各项均为正数，所以an＋1＝3an.因为a1＝2，an＋1＝3an，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则由Sn＝eq\f(21－3n,1－3)＝242，解得n＝5，故选A项．答案：A5．解析：由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故选D项．答案：D6．解析：∵Sn－Sn＋1＝Sn·Sn＋1(n∈N*)，∴eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝1.∵a1＝1，∴eq\f(1,S1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为1，公差为1的等差数列，∴eq\f(1,Sn)＝n，∴Sn＝eq\f(1,n)，故选C项．答案：C7．解析：∵4Sn＋1－3Sn＝4，∴Sn＋1－4＝eq\f(3,4)(Sn－4)，∴{Sn－4}是公比为eq\f(3,4)的等比数列，又a1＝1，∴S1－4＝－3，∴Sn－4＝－eq\f(3n,4n－1)，∴Sn＝4－eq\f(3n,4n－1)，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，又a1＝1满意上式，∴对一切n∈N*，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，故选A项．答案：A8．解析：∵a1＝eq\f(1,7)，an＋1＝eq\f(7,2)an(1－an)，∴a2＝eq\f(3,7)，a3＝eq\f(6,7)，a4＝eq\f(3,7)，a5＝eq\f(6,7)，…，∴n≥2时，{an}的奇数项为eq\f(6,7)，偶数项为eq\f(3,7)，∴a2024－a2024＝eq\f(6,7)－eq\f(3,7)＝eq\f(3,7)，故选B项．答案：B9．解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)(n∈N*)，∴易知n≥2时，2n－1an＝eq\f(1,2)，又a1＝eq\f(1,2)，∴对一切n∈N*,2n－1an＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,2n)，故选C项．答案：C10．解析：若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对随意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<eq\f(3,2).由λ<1可推得λ<eq\f(3,2)，但反过来，由λ<eq\f(3,2)不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.答案：A11．解析：法一令f(x)＝eq\f(x,x＋1)，则f(x)＝1－eq\f(1,x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．法二∵an＋1－an＝eq\f(n＋1,n＋2)－eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1n＋2)>0，∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列．答案：递增12．解析：∵an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，a4＝65，∴2a3＋24－1＝65，得a3＝25，∴2a2＋23－1＝25，得a2＝9，∴2a1＋22－1＝9，得a1＝3.答案：313．解析：∵Sn＝2n，∴n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，又a1＝2，不满意上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2))14．解析：an＝eq\f(n－7,n－5\r(2))＝1＋eq\f(5\r(2)－7,n－5\r(2))(n∈N*)，依据函数的单调性知，当n≤7或n≥8时，数列{an}为递减数列．因为当n≤7时，an<1，当n≥8时，an>1，所以a8为最大项，可知m＝8.答案：815．解析：由题意，知1－an≠0，所以an＋1＝1＋eq\f(2an,1－an).又a1＝2，所以a2＝1＋eq\f(2a1,1－a1)＝－3，a3＝1＋eq\f(2a2,1－a2)＝－eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f(2a3,1－a3)＝eq\f(1,3)，a5＝1＋eq\f(2a4,1－a4)＝2＝a1，….由此可得数列{an}是周期为4的数列．又a1a2a3a4＝1，所以数列{an}的前2024项的乘积为(a1a2a3a4)504·a1a2a3＝2×(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3.故选D.答案：D16．解析：∵数列{an}是递增数列且an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－an－3，n≤7，,an－6，n>7，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,73－a－3<a2，))解得2<a<3，所以实数a的取值范围是(2,3)，故选D.答案：D17．解析：由题意知，Sn＝2an＋2t－1①，当n＝1时，a1＝2a1＋2t－1，得a1＝1－2t；当