2024-2025高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE2.3.4[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与eq\o(AB,\s\up10(→))平行且方向相反的向量a是()A．(2,1)B．(－6，－3)C．(－1,2)D．(－4，－8)解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．答案：D2．已知平面对量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3bA．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b答案：C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λA.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，故选A.答案：A4．已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)解析：设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(AC,\s\up10(→)).因为eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))－(1，－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－eq\f(7,2)(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.答案：C5．已知向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，若eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，则实数m的值为()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C．3D．－3解析：向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(6，－3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,1)，∵eq\o(OC,\s\up10(→))＝(2m，m＋1)，eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(OC,\s\up10(→))，∴3m＋3＝2m，解得答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.答案：17．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：①直线OC与直线BA平行；②eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))；③eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))；④eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→)).其中，正确结论的序号为________．解析：①因为eq\o(OC,\s\up10(→))＝(－2,1)，eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2，－1)，所以eq\o(OC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))≠eq\o(CA,\s\up10(→))，所以②错误；③因为eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝(0,2)＝eq\o(OB,\s\up10(→))，所以③正确；④因为eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－4,0)，eq\o(OB,\s\up10(→))－2eq\o(OA,\s\up10(→))＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．答案：①③④8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.解析：因为a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以依据a＋b与c共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同；当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．∴x＝2.10．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，求证：eq\o(EF,\s\up10(→))∥eq\o(AB,\s\up10(→)).证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有eq\o(AC,\s\up10(→))＝(2,2)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－2,3)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(4，－1)．∵eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up10(→))，∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∵eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，∴eq\o(BF,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).∵eq\o(AE,\s\up10(→))＝(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，∵eq\o(BF,\s\up10(→))＝(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，∴eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up10(→))∥eq\o(AB,\s\up10(→)).[实力提升](20分钟，40分)11．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：方法一∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋λm2＝0，,1＋2λ＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,m＝0或2，))故选C.方法二由a＋λb＝0，知a＝－λb，故a∥b，所以2m＝m2，解得m答案：C12．已知向量a＝(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标________．解析：向量a＝(1,2)，与a共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)．答案：(2,4)(答案不唯一)13．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．解析：由O，P，B三点共线，可设eq\o(OP,\s\up10(→))＝λeq\o(OB,\s\up10(→))＝(4λ，4λ)，则eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(OP,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4λ－4,4λ)．易知eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up10(→))与eq\o(AC,\s\up10(→))共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up10(→))＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．14．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq\o(AB,\s\up10(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解析：(1)ka－b＝k(1,