2024-2025学年高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用跟踪训练含解析北师大版必修5

PAGE第一章数列§4数列在日常经济生活中的应用[A组学业达标]1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到其次年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()A．5(1＋2＋3＋…＋12)元B．5(1＋2＋3＋…＋11)元C．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A.答案：A2．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，假如月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满意()A．b＝eq\f(a,12) B．b＝eq\f(a（1＋5‰）12,12)C．b＝eq\f(a（1＋5‰）,12) D.eq\f(a,12)＜b＜eq\f(a（1＋5‰）12,12)解析：因为b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a(1＋0.005)12，所以12b＜a(1＋0.005)12，所以b＜eq\f(a（1＋5‰）12,12)，明显12b＞a，即eq\f(a,12)＜b＜eq\f(a（1＋5‰）12,12).答案：D3．银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，为吸引长期资金，激励储户三年定期存款，那么q的值应略大于()A.eq\r(（1＋r）3－1) B.eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]C．(1＋r)3－1 D．r解析：设储户存款a元，则存三年定期的本利和应略大于存一年定期自动转存三年后的本利和，即a＋3aq＞a(1＋r)3，所以1＋3q＞(1＋r)3，所以q＞eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]．答案：B4．某种细胞起先有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…按此规律，5小时后细胞的存活数为()A．35个 B．34个C．33个 D．32个解析：每次分裂后细胞的存活数分别为：3，5，9，17，33，…，每次分裂后细胞的存活数构成数列{an}，满意a1＝3，an＝2an－1－1.答案：C5．小王每月除去全部日常开支，大约结余a元．小王确定采纳零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝eq\f(12（12＋1）,2)ar＝78ar.答案：78ar6．某企业年初有资金S万元，假如企业经过生产经营使每年资金增长率平均为25%，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50%(扣除消费基金后)的目标，那么每年应扣除消费基金________万元．解析：经过1年后拥有的资金：S×(1＋0.25)－x，经过2年后拥有的资金：[S×(1＋0.25)－x](1＋0.25)－x，为实现经过2年资金增长50%(扣除消费基金后)，有[S×(1＋0.25)－x](1＋0.25)－x＝1.5S，解得x＝eq\f(1,36)S.答案：eq\f(1,36)S7．某种品牌汽车，购买时费用为10万元；每年应交保险费、养路费、汽油费合计为0.9万元；汽车的修理费平均第1年0.2万元，第2年0.4万元，第3年0.6万元，依等差数列逐年递增，从第11年起先，汽车每年的修理费用(万元)是运用年限的0.4倍，运用15年后强制报废，则这种汽车运用12年后的年平均费用为________万元．(结果保留一位小数)解析：汽车每年的修理费用构成首项a1＝0.2，公差d＝0.2的等差数列．S10＝0.2×10＋eq\f(10×9,2)×0.2＝11.这种汽车运用12年后的年平均费用为：eq\f(11＋0.4×（11＋12）＋10＋0.9×12,12)≈3.4(万元)．答案：3.48．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最终一次应付多少钱？解析：购买时先付150万元，还欠款1000万元．依题意知20次可付清．设每次交付的欠款依次为a1，a2，a3，…，a20，构成数列{an}，则a1＝50＋1000×0.01＝60；a2＝50＋(1000－50)×0.01＝59.5；a3＝50＋(1000－50×2)×0.01＝59；…an＝50＋[1000－50(n－1)]×0.01＝60－eq\f(1,2)(n－1)(1≤n≤20)．所以{an}是以60为首项，－eq\f(1,2)为公差的等差数列．则a10＝60－9×eq\f(1,2)＝55.5，a20＝60－19×eq\f(1,2)＝50.5，故第10个月应付55.5万元，最终一次应付50.5万元．9．某林场去年年底森林中的木材存量为a，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，求b的最大值(取lg2＝0.3)．解析：设a1，a2，…，a20表示从今年起先的各年木材存量，且a0＝a，则an＝an－1(1＋25%)－b.所以an＝eq\f(5,4)an－1－b⇒an－4b＝eq\f(5,4)(an－1－4b)，即数列{an－4b}是等比数列，且公比q＝eq\f(5,4).所以a20－4b＝(a0－4b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(20)＝(a－4b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(20)，设t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(20)，则lgt＝20lgeq\f(5,4)＝20(1－3×0.3)＝2，所以t＝100，于是a20－4b＝100(a－4b)，所以a20＝100a－396b，由a20≥4a，得4a≤100a－396b⇒b≤eq\f(8,33)a.故每年冬季最大砍伐量为eq\f(8,33)a.[B组实力提升]10．《九章算术》“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升 B.eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升 D.eq\f(37,33)升解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，故第5节的容积为eq\f(67,66)升．答案：B11．家用电器一件2000元，实行分期付款，每期付相同款数，每期一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付12次，即购买一年后付清，若按月利率1%，每月复利一次计算，则每期应付款()A.eq\f(20×1.0112元,1.0112－1)元 B.eq\f(20×1.0112,1－1.0112)元C.eq\f(2×1.0112,1.0112－1)元 D.eq\f(200×1.0112,1.0112－1)元解析：对于2000元，分12个月还款，月利率1%，按复利计算，则本利和为2000×(1＋1%)12＝2000×1.0112，每月存入银行a元，月利率1%，按复利计算，则本利和为a＋a(1＋1%)＋a(1＋1%)2＋…＋a(1＋1%)11＝eq\f(a·（1－1.0112）,1－1.01)＝100a(1.0112－1)，由题意知：2000×1.0112＝100a(1.0112－1)，所以a＝eq\f(20×1.0112,1.0112－1).答案：A12．生态系统中，在输入一个养分级的能量中，大约只有10%的能量能够流淌到下一个养分级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若能使H6获得10kJ的能量，则须要H1供应的能量是________kJ.解析：每一级得到的养分构成一个等比数列，设H1供应的能量是akJ，则H6获得a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(5)＝10kJ的能量，解得a＝106.答案：10613．某林场为了爱护生态环境，制定了植树造林的两个五年安排，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年起先，每年植树面积都比上一年削减a亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N＋)年林场植树的总面积为Sn亩，求Sn的表达式．解析：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a，24a，36a，54a，81a.所以该林场第六年植树面积为80a亩．(2)设第n年林场植树的面积为an亩，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n－1)×16a，1≤n≤5，n∈N＋，,（86－n）a，6≤n≤10，n∈N＋.))所以当1≤n≤5时，Sn＝16a＋24a＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)×16a＝eq\f(16a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n))),1－\f(3,2))＝32aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1)).当6≤n≤10时，Sn＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＝211a＋80a＋…＋(86－n)a＝21