2024-2025学年高中数学模块提升作业含解析新人教A版必修5

PAGE模块提升作业一、正、余弦定理及其应用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的状况A的大小A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).二、等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式假如等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简洁的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．三、等比数列及其前n项和1．等比数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项假如在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么依据等比数列的定义，eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq\r(ab)，称G为a，b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．四、数列求和的常用方法1．公式法干脆利用等差、等比数列的求和公式求和．2．分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式(1)eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4．倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采纳两项合并求解．五、不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a＞b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a＜b.))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1⇔a＞b，,\f(a,b)＝1⇔a＝b，,\f(a,b)＜1⇔a＜b.))(a∈R，b＞0)2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a．(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．(4)可乘性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞0))⇒ac＞bc．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＜0))⇒ac＜bc.(5)同向可加性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞d))⇒a＋c＞b＋d．(6)同向可乘性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞d＞0))⇒ac＞bd．(7)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1).(8)可开方性：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).3．不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a＞b，ab＞0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).②a＜0＜b⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).③a＞b＞0，0＜c＜d⇒eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a).(2)有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则①eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(b－m＞0).②eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0).六、一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}(x－a)·(x－b)＜0{x|a＜x＜b}∅{x|b＜x＜a}口诀：大于取两边，小于取中间．3．常见分式不等式的解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．七、二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧全部点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特别点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满意线性约束条件的解可行域全部可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题八、基本不等式及其应用1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号).(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R).(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p)．(简记：积定和最小)(2)假如和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4)．(简记：和定积最大)1．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B. (√)2．当b2＋c2－a2＞0时，三角形ABC为锐角三角形． (×)3．在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC). (√)4．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积． (√)5．若一个数列从其次项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (×)6．等差数列{an}的单调性是由公差d确定的． (√)7．数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (√)8．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}肯定是等差数列． (√)9．满意an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． (×)10．G为a，b的等比中项⇔G2＝ab. (×)11．假如数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列． (×)12．数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq\f(a（1－an）,1－a). (×)13．若eq\f(a,b)＞1，则a＞b. (×)14．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变． (×)15．a＞b＞0，c＞d＞0⇒eq\f(a,d)＞eq\f(b,c). (√)16．若ab＞0，则a＞b⇔eq\f(1,a)＜eq\f(1,b). (√)17．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞),则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. (√)18．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. (×)19．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. (×20．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集肯定不是空集． (√)21．点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0. (√)22．其次、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示． (√)23．线性目标函数的最优解是唯一的． (×)24．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解． (√)25．函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2. (×)26．函数f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4. (×)27．“x＞0且y＞0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要条件． (×)28．若a＞0，则a3＋eq\f(1,a2)的最小值为2eq\r(a). (×)29．不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有相同的成立条件． (×)30．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． (√)1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，则eq\f(b,c)＝()A．6 B．5C．4 D．3A[∵asinA－bsinB＝4csinC∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－（4c2＋b2）,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(b,c)＝6.故选A.]2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝eq\f(1,2)n2－2nA[法一：设等差数列{an}的公差为d，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2－4n.故选A.法二：设等差数列{an}的公差为d，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝0，,a5＝5，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d＝0，,a1＋4d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，解除B；选项C，S1＝2－8＝－6，解除C；选项D，S1＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，解除D.故选A.]3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)C[因为S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，所以eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(1,2)absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝eq\f(π,4).故选C.]4．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4eq\r(2) B．eq\r(30)C．eq\r(29) D．2eq\r(5)A[因为coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，所以cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×(eq\f(\r(5),5))2－1＝－eq\f(3,5).于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×(－eq\f(3,5))＝32，所以AB＝4eq\r(2).故选A.]5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝．eq\f(3π,4)[∵bsinA＋acosB＝0，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,－cosB).由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝eq\f(3π,4).]6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．100[∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝eq\f(a7－a3,7－3)＝eq\f(13－5,4)＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝100.]7．若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))则z＝x＋y的最大值为．9[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋y可化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值．联立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,x－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4，))所以B(5，4)，故zmax＝5＋4＝9.法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数z＝x＋y可求得z的值是3，9，5，故zmax＝9.]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为eq\f(2\r(3),3)[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinB·sinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝eq\f(1,2).因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以bc＝eq\f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).]9．已知数列{an}满意a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[解](1)由条件可得an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n)an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.10．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解](1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2