2025届高中数学统考第二轮专题复习第2讲函数的综合问题限时集训理含解析

第2讲函数的综合问题基础过关1.已知f(x-2)=lnx-2x,且f(x0)=0,则x0所在的区间为 (A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(4,5)2.下列函数在其定义域内既是奇函数又存在零点的是 ()A.f(x)=ex-1 B.f(x)=x+1C.f(x)=2x-xD.f(x)=2x-x3.已知函数f(x)=x2-2x+2,x≤0,log12(x+1),x>0,若当x∈[a,a+1]A.(-∞,-2) B.(-∞,-2]C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)4.设三个函数y=2x+x-2,y=log2x+x-2和y=x3-3x2+3x-1的零点分别为x1,x2和x3,则有 ()A.x1x2≥x3,x1+x2≥2x3 B.x1x2<x3,x1+x2=2x3C.x1x2>x32,x1+x2≤2xD.x1x2=x32,x1+x2≥25.设函数f(x)=2xx+1+lnx满意f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),若f(x)存在零点x0,则下列选项中肯定错误的是 A.x0∈(a,c) B.x0∈(a,b)C.x0∈(b,c) D.x0∈(c,+∞)6.已知函数f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有两个零点x1,x2,则x1+x2= ()A.2 B.4C.5 D.67.衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元经营利润的目标,拟制定员工的嘉奖方案:在经营利润超过6万元的前提下进行嘉奖,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过经营利润的20%.下列函数模型中,符合要求的是(参考数据:1.015100≈4.432,lg11≈1.041) ()A.y=0.04x B.y=1.015x-1C.y=tanx19-1 D.y=log11(3x-10)8.已知函数f(x)=ex-1-ax-1e(a∈R)的图像与x轴有唯一的公共点,则实数a的取值范围为 (A.a≤0 B.a≤0或a=1C.a≤0或a=e D.a≤0或a=19.已知函数f(x)=lnxx2,若f(x)<m-1x2在(0,+∞)上恒成立,则实数mA.m>e B.m>eC.m>1 D.m>e10.若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在区间(-2,+∞)上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是.

实力提升11.已知函数f(x)=x2+10x+1,x≤0,|lgx|,x>0,若关于x的方程f(x)=a(a∈R)有四个实数解xi(i=1,2,3,4),其中x1<x2<x3<x4,A.(0,101] B.(0,99]C.(0,100] D.(0,+∞)12.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,y=f(x+1)是奇函数,y=g(x+1)是偶函数,若y=f(x)·g(x)的图像与x轴有5个交点,则y=f(x)·g(x)的零点之和为 ()A.-5 B.5C.-10 D.1013.已知θ∈0,π2,若θ满意不等式sin3θ-cos3θ≥lncosθsinθ,则θ的取值范围是 (A.π4,π2 B.0,π4C.π4,π3 D.π4,π214.若函数f(x)=2x-a,x<1,4A.12B.(1,2]C.0,12∪[2,D.12,1∪[215.若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间0,1a上恰有一个零点,则实数a的取值范围是 A.13,12B.[3,+∞)C.(1,2)∪[3,+∞) D.[2,3)16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=ex(x+1).给出下列说法:①当x>0时,f(x)=e-x(x-1);②函数f(x)有三个零点;③f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞);④∀x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|<2.其中正确的说法有 ()A.1个 B.2个C.3个 D.4个17.已知函数f(x)=sinx+cosx-ax-3π4(a>0)有且仅有三个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则tan(x3-x2)所在的区间为 ()A.0,π2 B.π2,πC.3π2,+∞ D.π,3π218.已知函数f(x)=x3-3x,x≤0,x+ax,x>A.当a>0时,该函数至少有2个零点B.当a>0时,该函数至多有7个零点C.当a<0时,该函数至少有4个零点D.当a<0时,该函数至多有4个零点19.已知函数f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0),若关于x的不等式f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是 ()A.(0,e2] B.(0,e2)C.[1,e2] D.(1,e2)20.设f(x)=|lnx|,0<x<2,f(4-x),2<x<4,若方程f(x)=m有四个不相等的实根xi限时集训(二)1.A[解析]由f(x-2)=lnx-2x,得f(x)=ln(x+2)-2x+2(x>0).易知f(x)=ln(x+2)-2x+2是定义域上的增函数,故f又f(0)=ln2-1<0,f(1)=ln3-23>0,所以存在x0∈(0,1),使得f(x0)=02.C[解析]依据函数奇偶性的概念可知A选项与D选项所给函数不具有奇偶性;对于B选项,f(x)=x+1x为奇函数,但不存在零点;对于C选项,f(x)=2x-x为奇函数,且f(±2)=0.故选3.B[解析]作出函数f(x)的图像,如图所示.由图可知,函数f(x)在R上单调递减,所以f(x+a)≥f(2a-x)⇔x+a≤2a-x,可得x≤a2.由题意知,当x∈[a,a+1]时,x≤a2恒成立,所以a+1≤a2,解得a≤-2.4.B[解析]易知x3=1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图像,如图所示,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分别是曲线y=2x,曲线y=log2x与直线y=2-x的交点.因为函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称,且直线y=2-x也关于直线y=x对称,所以交点A,B关于直线y=x对称,所以x1+x22=y1+y22,即2-x所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<x1+x222=1(0<x1<x2),所以x1x2<x3,x1+x2=2故选B.5.C[解析]函数f(x)=2xx+1+lnx=2+lnx-2x+1的定义域为{x|x>0},且函数f由f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),可得f(a),f(b),f(c)中有1个是负数或3个均为负数,且有1个为负数时肯定是f(a)为负数.由函数的零点存在定理可知,函数的零点可能在(a,c),(a,b)或(c,+∞)内,不行能在(b,c)内.故选C.6.B[解析]函数f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2=(x-2)2+ex-2+e-x+2-5,令t=x-2,g(t)=t2+et+e-t-5,则g(-t)=t2+et+e-t-5=g(t),所以函数g(t)是偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=2对称.若函数f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有两个零点x1,x2,则x1+x2=4.故选B.7.D[解析]对于函数y=0.04x,当x=100时,y=4>3,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y≈3.432>3,不符合题意;对于函数y=tanx19-1,在(6,100]上不是增函数,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),在(6,100]上是增函数,且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,作出直线y=15x与曲线y=log11(3x-10),如图所示由图可知,当x∈(6,100]时,15x>log11(3x-10)恒成立,所以该函数符合题意.故选D8.B[解析]由题意可得f(0)=e-1-1e=0,则函数f(x)的图像与x轴的唯一公共点为原点.f'(x)=ex-1-a当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,此时函数f(x)的图像与x轴有唯一的公共点.当a>0时,由f'(x)>0得x>lna+1,由f'(x)<0得x<lna+1,则f(x)在(-∞,lna+1)上单调递减,在(lna+1,+∞)上单调递增.由题意可得lna+1=0,解得a=1e.综上,实数a的取值范围为a≤0或a=1e,故选9.B[解析]∵f(x)=lnxx2,f(x)<m-1x2在(0∴m>1+lnxx2(x>0令g(x)=1+lnx则g'(x)=1x·x当x∈0,e-12时,g'(x)>0,g(x)在区间0,e-12当x∈e-12,+∞时,g'(x)<0,g(x)在区间e-12,+∞∴当x=e-12时,g(x)取得极大值,也是最大值,且ge-12=1+lne-12e10.a=0或a≥12[解析]若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在区间(-2,+∞)上有且仅有一个零点则方程2|x-2a|=4|x+a|,即2|x-2a|=22|x+a|,即|x-2a|=2|x+a|,即(x-2a)2=4(x+a)2,即x(x+4a)=0在(-2,+∞)上有且只有一个根.当a=0时,满意题意;当a≠0时,必有-4a≤-2,解得a≥12故实数a的取值范围是a=0或a≥1211.B[解析]画出函数f(x)=x2+10x+1依据题意及图像知x1+x2=-10,lgx3=-lgx4,故x3x4=1,且110≤x3<1故(x1+x2)(x3-x4)=-10x3-1x3∈(0,99].故选B.12.B[解析]由题意得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又g(-x+1)=g(x+1),即g(2-x)=g(x),所以f(2-x)·g(2-x)=-f(x)g(x),所以函数y=f(x)·g(x)的图像关于点(1,0)对称.设y=f(x)·g(x)的零点为x1,x2,x3,x4,x5,易知x3=1,设x1<x2<1<x4<x5,则x1+x5=x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=5.故选B.13.A[解析]∵sin3θ-cos3θ≥lncosθsinθ,θ∈0,π2,∴sin3θ-cos3θ≥lncosθ-lnsinθ,即sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ,其中sinθ>0且cosθ>0,故θ≠0且θ≠π2,即θ∈0,π2.设f(x)=x3+lnx,x>0,则不等式sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ等价于f(sinθ)≥f(cosθ).f'(x)=3x2+1x,则当x>0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上为增函数,则f(sinθ)≥f(cosθ)等价于sinθ≥cosθ.∵θ∈0,π2,∴sinθcosθ≥1,即tanθ≥1,即π4≤θ<π2,即θ故选A.14.D[解析]设h(x)=2x-a,g(x)=4(x-a)(x-2a).若h(x)=2x-a在(-∞,1)上有一个零点,函数g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有一个零点,则a>0且h(1)=2若h(x)=2x-a在(-∞,1)上没有零点,函数g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有两个零点,则a≤0或a≥综上所述,实数a的取值范围是12,1∪[2,+∞).故选D.15.D[解析]由f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)得f(0)=1-loga2,f1a=1-loga3.由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数f(x)的零点至多有两个.因为f(x)在0,1a上恰有一个零点,所以(1-loga2)(1-loga3)≤0且1-loga2=0与1-loga3=0在0,1a解不等式(1-loga2)(1-loga3)≤0可得2≤a≤3.当a=3时,函数f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),x∈0,且满意f(0)=1-log32>0,f16=0-log352<0,f13=1-log33=0,所以f(x)在0,16内有一个零点,x=13为一个零点,不合题意,综上可知,实数a的取值范围为[2,3),故选D.16.D[解析]因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=ex(x+1),所以当x<0时,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-e-x(1-x)=e-x(x-1),故①正确.f(x)=ex(x+1),x<0,0,x=0,e-x(x-1),x>0,当不等式f(x)>0等价于x<0解得-1<x<0或x>1,所以f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),故③正确.当x>0时,f(x)=(x-1)e-x,f'(x)=e-x-(x-1)e-x=(2-x)e-x,当0<x<2时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上为增函数;当x>2时,f'(x)<0,所以f(x)在(2,+∞)上为减函数.所以f(x)max=f(2)=e-2,当x→0时,f(x)→-1,当x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)>-1,所以当x>0时,f(x)的取值范围为(-1,e-2],因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)的值域为(-1,1),故∀x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|<2,故④正确.故选D.17.D[解析]f(x)有且仅有三个不同的零点等价于方程2sinx+π4=ax-3π4有且仅有三个不同的实数根,等价于曲线y=2sinx+π4与直线y=ax-3π4有且仅有三个不同交点.作出曲线y=2sinx+π4和直线y=ax-3π4,如图.当直线y=ax-3π4与曲线y=2sinx+π4相切时,满意题意.因为x1<x2<x3,所以x2=3π4,且2cos(x3+π4)=a,2sin(x3由诱导公式得tan(x3-x2)=tanx3-3π4=tanx3+π4=x3-3π4又7π4<x3<9π4,所以tan(x3-x2)=x3-3π4∈π,318.B[解析]令y=x3-3x,x≤0,则y'=3x2-3,令y'=0,可得x=-1,当x<-1时,y'>0,当-1<x≤0时,y'<0,所以y=x3-3x,x≤0在x=-1处取得极大值,也是最大值,最大值为2.(1)当a>0时,要使零点个数最少,则a>1,此时x+ax≥2x·ax=2a>2(x>0),此时函数f(x)由y=f[f(x)]-2=0得f[f(x)]=2,故f(x)=-1,由图可得y=f[f(x)]-2的零点个数为1,故A错误.要使零点个数最多,则0<a<1,此时x+ax≥2x·ax=2a<2(x>0),此时函数f(x)由y=f[f(x)]-2=0得f[f(x)]=2,所以f1(x)=-1,f2(x)=t1,f3(x)=t2,其中t2>a,0<t1<a,又f1(x)=-1有1个根,f2(x)=t1有2个根,f3(x)=t2最多有4个根,所以y=f[f(x)]-2最多有7个零点,故B正确.(2)当a<0时,函数y=x+ax为增函数,此时函数f(x)的图像如图③所示由y=f[f(x)]-2=0得f[f(x)]=2,所以f1(x)=-1,f2(x)=t,其中t+at=2,即t2-2t+a=0,由图知t>0,故t=1+1-a>2,故f1(x)=-1有2个根,f2(x)=t有1个根,故y=f[f(x)]-2一共有所以C,D错误.故选B.19.B[解析]由f(x)=ex-aln(ax-a)+a>0恒成立,得1aex>ln[a(x-1)]-1恒成立,可得ex-lna-lna>ln(x-1)-1恒成立,变形得ex-lna+x-lna>eln(x-1)+ln(x-1)恒成立.令g(x)=ex+x,明显g(x)为增函数,则原问题等价于g(x-lna)>g[ln(x-1)]恒成立,故x-lna>ln(x-1)恒成立,即lna<x-ln(x-1)恒成立.令h(x)=x-ln(x-1)(x>1),则h'(x)=x-2x-1,当x∈(1,2)时,h'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,故h(x)min=h(2)=2,所以lna<2,即0<a<20.20,412[解析]∵当2<x<4时,f(x)=f(4-x),∴f(x)在(2,4)与(0,2)上的图像关于直线x=2对称.作出f(x)的图像如图所示.不妨设x1<x2<x3<x4,可得x1+x4=x2+x3=4,-lnx1=lnx2,∴x1x2=1,∴x1=1x2,x4=4-1x2,x3=∴x12+x22=1x22+x22+(4-x2)2+4=2x2+1x22-8x2+1x2+28,x2∈(1,2).令t=x2+1x2,则t∈2,52令h(t)=2t2-8t+28,t∈2,52,可得h(t)在2,52上单调递增,∴h(2)<h(t)<h52,即20<h(t)<412,∴x12+x22+x32+x4限时集训(二)1.A[解析]由f(x-2)=lnx-2x,得f(x)=ln(x+2)-2x+2(x>0).易知f(x)=ln(x+2)-2x+2是定义域上的增函数,故f又f(0)=ln2-1<0,f(1)=ln3-23>0,所以存在x0∈(0,1),使得f(x0)=02.C[解析]依据函数奇偶性的概念可知A选项与D选项所给函数不具有奇偶性;对于B选项,f(x)=x+1x为奇函数,但不存在零点;对于C选项,f(x)=2x-x为奇函数,且f(±2)=0.故选3.B[解析]作出函数f(x)的图像,如图所示.由图可知,函数f(x)在R上单调递减,所以f(x+a)≥f(2a-x)⇔x+a≤2a-x,可得x≤a2.由题意知,当x∈[a,a+1]时,x≤a2恒成立,所以a+1≤a2,解得a≤-2.4.B[解析]易知x3=1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图像,如图所示,其中A(x1,y1),B(x2,y2)分别是曲线y=2x,曲线y=log2x与直线y=2-x的交点.因为函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称,且直线y=2-x也关于直线y=x对称,所以交点A,B关于直线y=x对称,所以x1+x22=y1+y22,即2-x所以x1+x2=2.由基本不等式得x1x2<x1+x222=1(0<x1<x2),所以x1x2<x3,x1+x2=2故选B.5.C[解析]函数f(x)=2xx+1+lnx=2+lnx-2x+1的定义域为{x|x>0},且函数f由f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),可得f(a),f(b),f(c)中有1个是负数或3个均为负数,且有1个为负数时肯定是f(a)为负数.由函数的零点存在定理可知,函数的零点可能在(a,c),(a,b)或(c,+∞)内,不行能在(b,c)内.故选C.6.B[解析]函数f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2=(x-2)2+ex-2+e-x+2-5,令t=x-2,g(t)=t2+et+e-t-5,则g(-t)=t2+et+e-t-5=g(t),所以函数g(t)是偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=2对称.若函数f(x)=x2-4x-1+ex-2+e-x+2有两个零点x1,x2,则x1+x2=4.故选B.7.D[解析]对于函数y=0.04x,当x=100时,y=4>3,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y≈3.432>3,不符合题意;对于函数y=tanx19-1,在(6,100]上不是增函数,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),在(6,100]上是增函数,且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,作出直线y=15x与曲线y=log11(3x-10),如图所示由图可知,当x∈(6,100]时,15x>log11(3x-10)恒成立,所以该函数符合题意.故选D8.B[解析]由题意可得f(0)=e-1-1e=0,则函数f(x)的图像与x轴的唯一公共点为原点.f'(x)=ex-1-a当a≤0时,f'(x)>0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,此时函数f(x)的图像与x轴有唯一的公共点.当a>0时,由f'(x)>0得x>lna+1,由f'(x)<0得x<lna+1,则f(x)在(-∞,lna+1)上单调递减,在(lna+1,+∞)上单调递增.由题意可得lna+1=0,解得a=1e.综上,实数a的取值范围为a≤0或a=1e,故选9.B[解析]∵f(x)=lnxx2,f(x)<m-1x2在(0∴m>1+lnxx2(x>0令g(x)=1+lnx则g'(x)=1x·x当x∈0,e-12时,g'(x)>0,g(x)在区间0,e-12当x∈e-12,+∞时,g'(x)<0,g(x)在区间e-12,+∞∴当x=e-12时,g(x)取得极大值,也是最大值,且ge-12=1+lne-12e10.a=0或a≥12[解析]若函数f(x)=2|x-2a|-4|x+a|在区间(-2,+∞)上有且仅有一个零点则方程2|x-2a|=4|x+a|,即2|x-2a|=22|x+a|,即|x-2a|=2|x+a|,即(x-2a)2=4(x+a)2,即x(x+4a)=0在(-2,+∞)上有且只有一个根.当a=0时,满意题意;当a≠0时,必有-4a≤-2,解得a≥12故实数a的取值范围是a=0或a≥1211.B[解析]画出函数f(x)=x2+10x+1依据题意及图像知x1+x2=-10,lgx3=-lgx4,故x3x4=1,且110≤x3<1故(x1+x2)(x3-x4)=-10x3-1x3∈(0,99].故选B.12.B[解析]由题意得f(-x+1)=-f(x+1),即f(2-x)=-f(x),又g(-x+1)=g(x+1),即g(2-x)=g(x),所以f(2-x)·g(2-x)=-f(x)g(x),所以函数y=f(x)·g(x)的图像关于点(1,0)对称.设y=f(x)·g(x)的零点为x1,x2,x3,x4,x5,易知x3=1,设x1<x2<1<x4<x5,则x1+x5=x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4+x5=5.故选B.13.A[解析]∵sin3θ-cos3θ≥lncosθsinθ,θ∈0,π2,∴sin3θ-cos3θ≥lncosθ-lnsinθ,即sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ,其中sinθ>0且cosθ>0,故θ≠0且θ≠π2,即θ∈0,π2.设f(x)=x3+lnx,x>0,则不等式sin3θ+lnsinθ≥cos3θ+lncosθ等价于f(sinθ)≥f(cosθ).f'(x)=3x2+1x,则当x>0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上为增函数,则f(sinθ)≥f(cosθ)等价于sinθ≥cosθ.∵θ∈0,π2,∴sinθcosθ≥1,即tanθ≥1,即π4≤θ<π2,即θ故选A.14.D[解析]设h(x)=2x-a,g(x)=4(x-a)(x-2a).若h(x)=2x-a在(-∞,1)上有一个零点,函数g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有一个零点,则a>0且h(1)=2若h(x)=2x-a在(-∞,1)上没有零点,函数g(x)=4(x-a)(x-2a)在[1,+∞)上有两个零点,则a≤0或a≥综上所述,实数a的取值范围是12,1∪[2,+∞).故选D.15.D[解析]由f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)得f(0)=1-loga2,f1a=1-loga3.由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数f(x)的零点至多有两个.因为f(x)在0,1a上恰有一个零点,所以(1-loga2)(1-loga3)≤0且1-loga2=0与1-loga3=0在0,1a解不等式(1-loga2)(1-loga3)≤0可得2≤a≤3.当a=3时,函数f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),x∈0,且满意f(0)=1-log32>0,f16=0-log352<0,f13=1-log33=0,所以f(x)在0,16内有一个零点,x=13为一个零点,不合题意,综上可知,实数a的取值范围为[2,3),故选D.16.D[解析]因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=ex(x+1),所以当x<0时,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-e-x(1-x)=e-x(x-1),故①正确.f(x)=ex(x+1),x<0,0,x=0,e-x(x-1),x>0,当不等式f(x)>0等价于x<0解得-1<x<0或x>1,所以f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞),故③正确.当x>0时,f(x)=(x-1)e-x,f'(x)=e-x-(x-1)e-x=(2-x)e-x,当0<x<2时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上为增函数;当x>2时,f'(x)<0,所以f(x)在(2,+∞)上为减函数.所以f(x)max=f(2)=e-2,当x→0时,f(x)→-1,当x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)>-1,所以当x>0时,f(x)的取值范围为(-1,e-2],因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)的值域为(-1,1),故∀x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|<2,故④正确.故选D.17.D[解析]f(x)有且仅有三个不同的零点等价于方程2sinx+π4=ax-3π4有且仅有三个不同的实数根,等价于曲线y=2sinx+π4与直线y=ax-3π4有且仅有三个不同交点.作出曲线y=2sinx+π4和直线y=ax-3π4,如图.当直线y=ax-3π4与曲线y=2sinx+π4相切时,满意题意.因为x1<x2<x3,所以x2=3π4,且2cos(x3+π4)=a,2sin(x3由诱导公式得tan(x3-x2)=tanx3-3π4=tanx3+π4=x3-3π4又7π4<x3<9π4,所以tan(x3-x2)=x3-3π4∈π,318