2024-2025学年新教材高中数学3函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的表示法课后素养落实含解析新人教A版必修第一册

课后素养落实(十八)函数的表示法(建议用时：40分钟)一、选择题1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})D[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明骑车上学，起先时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事务吻合得最好的图象是()C[距学校的距离应渐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．假如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于()A.eq\f(1,x) B．eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x) D．eq\f(1,x)－1B[令eq\f(1,x)＝t，则x＝eq\f(1,t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故选B.]5．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则fA．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－3B[设f(x)＝ax＋b，由题设有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))所以选B.]二、填空题6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.－1[由2x＋1＝3得x＝1，∴f(3)＝1－2＝－1.]7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x456f(x)131x123g(x)454则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.43[由题表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]8．若一个长方体的高为80cm，长比宽多10cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.]三、解答题9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并依据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)求函数f(x)的值域．[解]f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3)．(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f(x)是一次函数，且满意2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x(2)已知f(x)为二次函数，且满意f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)的解析式．[解](1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.(3)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋3，所以f(x)＝x2＋3.1．(多选)已知f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，则f(x)满意的关系有()A．f(－x)＝f(x) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝f(x) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝－f(x)ABD[f(－x)＝eq\f(1＋－x2,1－－x2)＝eq\f(1＋x2,1－x2)＝f(x)，故A正确；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，故B正确；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2)＝eq\f(1＋\f(1,x2),1－\f(1,x2))＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，故D正确，故选ABD.]2．(多选)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是()A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2BD[令t＝2x－1，则x＝eq\f(t＋1,2)，∴f(t)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋1,2)))2＝(t＋1)2.∴f(3)＝16，f(－3)＝4，f(x)＝(x＋1)2.]3．已知f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x－1)＝________.2(x－2)2＋1[∵f(x＋1)＝2x2＋1，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，∴f(x－1)＝2(x－2)2＋1.]4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的表达式为________，自变量x满意的条件是________．y＝eq\f(\r(2),8)x{x|x>0}[由题意可知正方形的边长为eq\f(x,4).∴eq\f(\r(2)x,4)＝2y，即y＝eq\f(\r(2),8)x，其中x>0.]已知函数f(x)对随意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．(1)求f(0)与f(1)的值；(2)求证：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)；(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．[解](1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令a＝1，b＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.(2)证明：令a＝eq\f(1,x)，b＝x，得f(1)＝feq\b\