全国统考2024高考数学一轮复习案例探究一三类不等式的解法学案理含解析北师大版

三类不等式的解法中学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类探讨思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.依据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.一含有肯定值的不等式1.肯定值的属性:非负性2.式子中含有肯定值,通常的处理方法有两种:一是通过对肯定值内部符号进行分类探讨(常用);二是通过平方去掉肯定值.3.若不等式满意以下特点,可干脆利用公式进行变形求解:(1)|f(x)|>g(x)的解集与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)的解集相同;(2)|f(x)|<g(x)的解集与-g(x)<f(x)<g(x)的解集相同.4.对于其他含肯定值的问题,则要详细问题详细分析,通常可用的手段就是先利用分类探讨去掉肯定值,将其转化为整式不等式,再做处理.【例1】解下列不等式:(1)|x2+x|≤3x;(2)|x-1|+|x+2|<5;(3)|2x-1|-|x-2|<0.解(1)(方法1)原不等式可转化为-3x≤x2+x≤3x,即x2+∴0≤x≤2.(方法2)视察到若要使得不等式|x2+x|≤3x成立,则3x≥0,即x≥0,进而|x2+x|内部恒为正数,肯定值干脆去掉,即只需解x2+x≤3x即可,解得0≤x≤2,∴不等式的解集为[0,2].(2)含多个肯定值的问题,可通过“零点分段法”来进行分类探讨.令两个肯定值分别为零,解得x=-2,x=1,作出数轴,将数轴分为三部分,分类探讨:①当x>1时,不等式变为x-1+x+2<5,解得x<2,∴1<x<2.②当-2<x≤1时,不等式变为1-x+x+2<5,解得3<5,∴-2<x≤1时不等式均成立.③当x≤-2时,不等式变为1-x-x-2<5,解得x>-3,∴-3<x≤-2.综上所述,不等式的解集为(-3,2).(3)思路:本题依旧可以仿照(2)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度视察,所解不等式为|2x-1|<|x-2|,两边均是肯定值(非负数),所以还可以考虑两边平方(所用不等式性质:a>b≥0⇒a2>b2)一次将两个肯定值去掉,再进行求解.∵|2x-1|<|x-2|,∴(2x-1)2<(x-2)2,4x2-4x+1<x2-4x+4,∴3x2<3,解得-1<x<1,∴不等式的解集为(-1,1).归纳小结1.含肯定值的不等式要留意视察式子特点,选择更简便的方法.2.零点分段法的好处在于,一段范围可将全部的肯定值一次性去掉,缺点在于须要进行分类探讨,对学生书写的规范和分类探讨习惯提出了要求,以及如何整理结果,这些细微环节部分均要做好,才能保证答案的正确性.二简洁的高次不等式的解法【例2】解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)>0.解法一(列表法):求得相应方程的根为-2,1,3.列表如下:x<-2-2<x<11<x<3x>3x+2-+++x-1--++x-3---+各因式积-+-+由上表可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}.小结:此法叫列表法,解题步骤是:①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的系数化为正数),令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……;②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式起先依次自上而下排列);③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号;④看下面各因式积的符号写出不等式的解集.解法二(穿根法):①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2,1,3,在数轴上表示这三个数.②由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点.③若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.由图可知,原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}.小结:此法叫穿根法,解题步骤是:①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;②求根,并在数轴上表示出来;③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点;④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解①检查各因式中x的符号均正.②求得相应方程的根为:-1,2,3(留意:2是二重根,3是三重根).③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方起先),如下图.④∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}.说明:∵3是三重根,∴在C处穿三次,2是二重根,∴在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时,n为奇数时,曲线在x1点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿”.对点训练解不等式:(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.三无理不等式常见题型及等价转化:(1)f(2)f(x)>g(x(3)f(x)<g(x【例4】解不等式:2x-1≤解法一2x-1≤x-即x≥12所以原不等式的解集为[5,+∞).解法二设2x-1=t(t≥0),则所以原不等式化为t≤t2+1所以t2-2t-3≥0,即t≤-1或t≥3.因为t≥0,所以t≥3,所以x≥5.【例5】解不等式:2ax-a2>a-x解2ax-a2>a-x⇔①而①⇔a-x≥0,2ax-a2>(a②⇔x≥a2,x>所以原不等式的解集是((2-2)a,a]∪(a,+∞),即((2-2)a,+∞).【例6】解不等式:(x-1)x+2≥0解(x-1)x+2≥0⇔(x-1)x+2>0,或(x-1)x⇔x-1>0,x⇔x>1或x=1或x=-2.所以原不等式的解集是[1,+∞)∪{-2}.归纳小结无理不等式的等价转化即由无理不等式转化为等价的有理不等式来求解,要求必需娴熟驾驭;其他解法要依据不等式的详细状况而定.案例探究(一)三类不等式的解法对点训练解①将原不等式化为(x-3)