寒假作业05 正多边形和圆与圆的相关计算（18道经典题型+5道中考真题）

第1页共2页完成时间：________月________日天气：寒假作业05正多边形和圆与圆的相关计算积累运用1.正多边形：各边、各角都相等的多边形．2.正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径．3.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离．4.正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角．图1图2图35.正多边形中各元素间的关系：1）如图2，设正多边形的边长为an，半径为R，边心距为rn，中心角为α；则有：2）正多边形的一些关系：=1\*GB3①正n边形的中心角α=360°n；=2\*GB3②正n边形的周长Pn=n⋅an；=3\*GB3③正n边形的面积Sn=126.与圆有关的面积和长度计算：设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，弧长公式：l=nπR180扇形面积公式：S扇形=n扇形与圆锥的关系：如图3.圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl(常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变换法基础过关练1．一个正多边形的中心角为45°，这个正多边形的边数是（

A．3 B．5 C．8 D．102．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（

）A．4 B．33 C．23 D3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（

A．20° B．18° C．16° D．4．如图，已知⊙O，求作：⊙O内接正六边形ABCDEF，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作OB的垂直平分线交⊙O于点A、C；③作OE的垂直平分线交⊙O于点D、F；④依次连接A→B→C→D→E→F→A，六边形ABCDEF即为所求（如图①）．乙：①⊙O上任取点A，以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点B；②以点B为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C；③同上述作图方法逆时针作出点D、E、F；④依次连接A→B→C→D→E→F→A，多边形ABCDEF即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对5．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（

）A．1:2:3 B． C．1:2:3 D6．如图，半圆O的直径AB为10，点C、D在圆弧上，连接AC、BD，两弦相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为（A．254π-254 B．254π-7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（

）A．12π B．15π C．18π D．24π8．如图，边长为6的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，过点O作OE⊥OF，分别交AB、AD于点E、F，则图中阴影部分的面积为________________．9．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90°的扇形CAB．(1)求阴影部分面积；(2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．10．如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB=2，连接DG．(1)求证DG∥(2)DG的长为_____________．能力提升练11．如图所示正六边形ABCDEF的面积为6，点M是边EF的中点，连接AE、CM相交于N，若四边形AFMN的面积记作a，四边形CDEN的面积记作b，则b-A．32 B．1 C． D．212．如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是（

）A．213+13 B．13+13 C13．如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点A,D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=4，则过点D作DC⊥BE于点C，则图中阴影部分的面积是（

A．163π-43 B．163π-2314．如图①，C，D分别是半圆O的直径AB上的点，点E，F在AB上，且四边形CDEF是正方形．

(1)若AB=45，则正方形CDEF的面积为___________(2)如图②，点G，，M分别在AB，AB，DE上，连接HG，HM，四边形DGHM是正方形，且其面积为16.①求AB的值；②如图③，点N，P，Q分别在HM，AB，EM上，连接PN，，四边形MNPQ是正方形．直接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比．15．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM,MN,NA．(1)求∠ABC的度数(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．拓展培优练16．将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形．例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形．下列图形中：①正方形；②长方形；③正五边形；④六边形．其中是双心多边形的有（

）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②③④17．请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB=2，则对角线BD的长为______________．18．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4(3)[总结]随着n的增大，kn中考真题练19．（2023年江苏无锡中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．120．（2023年湖南娄底中考真题）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°A．43π-3 B．43π-321．（2023年山东滨州中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙A．14πcm2 B． C．22．（2023年湖北十堰中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（

）A．5 B．33 C．32 D23．（2023年山东潍坊中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，连接AE，DE．过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接，DG．(1)求证：△AFD(2)若AB=2，∠BAE=30

寒假作业05正多边形和圆与圆的相关计算参考答案基础过关练1．一个正多边形的中心角为45°，这个正多边形的边数是（

A．3 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】这个多边形的边数是360÷45°2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（

）A．4 B．33 C．23 D【答案】B【解析】如图，连接OB，OC，∵∠BOC=60°，OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC=6∵OM⊥BC，∴BM=CM=12BC=3，∴OM=63．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（

A．20° B．18° C．16° D．【答案】B【解析】如图，连接OD，∵PD与⊙O相切，∴∠ODP=90∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴AB∴∠DOE=15×360°=72°，∴∠4．如图，已知⊙O，求作：⊙O内接正六边形ABCDEF，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径；②作OB的垂直平分线交⊙O于点A、C；③作OE的垂直平分线交⊙O于点D、F；④依次连接A→B→C→D→E→F→A，六边形ABCDEF即为所求（如图①）．乙：①⊙O上任取点A，以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点B；②以点B为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C；③同上述作图方法逆时针作出点D、E、F；④依次连接A→B→C→D→E→F→A，多边形ABCDEF即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（

）A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对【答案】C【解析】由甲同学的作业可知，OF=OE=EF，同理可知EF=AF=AB=BC=CD=DE，∴六边形ABCDEF是正六边形，即甲同学的作业正确．由乙同学的作业可知OA=AB=OB．依次画弧可得BC=CD=ED=EF=AF=AB．∴六边形ABCDEF为正六边形，即乙同学的作业正确．故选C.5．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（

）A．1:2:3 B． C．1:2:3 D【答案】A【解析】如图，连接OD、OE.∵AB、AC切圆O于E、D，∴OE⊥AB，又∵AO=AO，EO=DO，∴△AEO≌△ADOHL，故∠又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠OAC=60°12=30°，∴∵OF=OD，∴OD:AF=1:2+1=1:3，∴内切圆半径、外接圆半径和高的比是1:2:3．故选6．如图，半圆O的直径AB为10，点C、D在圆弧上，连接AC、BD，两弦相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为（A．254π-254 B．254π-【答案】B【解析】如图，连接OD，OC，是直径，，，∴∠DBC=∠CEB=45°，DC的度数为90°，，∴S阴影=7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（

）A．12π B．15π C．18π D．24π【答案】B【解析】根据题意得：这个几何体为圆锥，如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得：AB=AC，AD=4，BC=6，∴CD=12BC=3，∴，即圆锥的母线长为∴这个几何体的侧面积是12π8．如图，边长为6的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，过点O作OE⊥OF，分别交AB、AD于点E、F，则图中阴影部分的面积为________________．【答案】9【解析】如图，过点O作于点M，ON⊥AD于点N．∵点O是正方形ABCD的中心，，ON⊥AD，∴OM=ON，，∴∠EOF=90°，即∠EOM+∠∵∠A=∠AMO=∠ANO=90°，∴∠MON=90°，即∠FON+∴∠EOM=∠FON，∴△EOM≌△FON(ASA)，∴S四边形AEOF=S正方形AMON9．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90°的扇形CAB．(1)求阴影部分面积；(2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．【解析】（1）如图，连接AB，∵∠ACB=90°，∴AB是圆O的直径，∴点A、O、B三点共线，∴OB=OC=OA，又∵AC=BC，∴CO⊥∵圆的直径为2，则AC=BC=2，故S扇形=90π×（2）解：AB的长l=90π×2180=2故该圆锥的底面圆的半径是2410．如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB=2，连接DG(1)求证DG∥(2)DG的长为_______________．【解析】（1）如图，连接AD，正八边形ABCDEFGH，∴AB=∵∠BAD=180°8×2=45°（2）∵DE=EF=FG=AB=2，同理可证：EF∥DG，∴四边形DGFE为等腰梯形，∴∠GFE=∠DEF=135°，作∵EF∥DG，在Rt△QGF中，∠DGF=45°，GF=2，∵EF∥DG，EP⊥DG，FQ⊥∴PQ=EF=2，∴能力提升练11．如图所示正六边形ABCDEF的面积为6，点M是边EF的中点，连接AE、CM相交于N，若四边形AFMN的面积记作a，四边形CDEN的面积记作b，则b-

A．32 B．1 C． D．2【答案】B【解析】连接AD,BE,CF,CE，如图所示，由正六边形的对称性可知：S△∠AOF=∴△AOF，△AOB，△S△AEF=1∵S四边形CDEF=∵点M是边EF的中点，∴S△CFM=12b-a=b+12．如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是（

）A．213+13 B．13+13 C【答案】A【解析】如图，在小正六边形中，，则，在大正六边形中，NG=DG,∠NGD=120°过G作GH⊥DN于点H，∴NH=12DN，在∵NG=DE，∴DN=3DE，设DE=x，则DN=3由于FC=BE，∴8+x2=x2即DE=213+113．如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点A,D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO=60°，AB=4，则过点D作DC⊥BE于点CA．163π-43 B．163【答案】B【解析】如图，连接OA，∵∠ABO=60°，OA=OB，∴△∵AD∥BO，∴∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DC⊥BE，∴∠DCO=90°，∴∠∵△OAD与△ABD与△∴S阴影=S14．如图①，C，D分别是半圆O的直径AB上的点，点E，F在AB上，且四边形CDEF是正方形．

(1)若AB=45，则正方形CDEF的面积为__________(2)如图②，点G，，M分别在AB，AB，DE上，连接HG，HM，四边形DGHM是正方形，且其面积为16.①求AB的值；②如图③，点N，P，Q分别在HM，AB，EM上，连接PN，，四边形MNPQ是正方形．直接写出正方形MNPQ与正方形DGHM的面积比．【解析】（1）如图，连接OF，∵四边形CDEF是正方形，∴FC=2CO

∵FC2+CO∴正方形的边长为4，∴正方形CDEF的面积为16．（2）①连接OE，ON，∵四边形DGHM是正方形，且其面积为16，∴HG=DG=4设OD=x，则DE=2x，在Rt△ODE中，在Rt△OHG中，OH2解得x1=4,x2=②连接OM，PM，DH，∵MD=OD=4，且∠∴∠MOD=∠OMD=45又∵∠PMN=45°，∴∠∴MP=45-42，15．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接AM,MN,NA．(1)求∠ABC的度数(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．【解析】（1）∵正五边形ABCDE．∴AB=∴∠AOB=∵AEC=3AE，∴∠AOC(优弧所对圆心角)∴∠ABC=（2）△AMN是正三角形，理由如下：连接ON,FN，由作图知：FN=FO,∵ON=OF，∴ON=OF=FN，∴△OFN∴∠OFN=60°，∴∠AMN=∠OFN=60°，同理∠ANM=60∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN，∴△AMN（3）∵△AMN是正三角形，∴∠AON=2∵AD=2AE，∴∵DN=AD-AN，∴∠NOD=144°-120°=24°拓展培优练16．将既有外接圆又有内切圆的多边形定义为双心多边形．例如，三角形既有外接圆也有内切圆，所以三角形是双心多边形．下列图形中：①正方形；②长方形；③正五边形；④六边形．其中是双心多边形的有（

）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②③④【答案】B【解析】①正方形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；②长方形一定有外接圆，没有内切圆所以不是双心多边形；③正五边形既有外接圆又有内切圆是双心多边形；④六边形不一定是双心多边形，正六边形有外接圆又有内切圆，非正六边形没有内切圆.故选B.17．请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB=2，则对角线BD的长为______________________．【答案】1+【解析】如图，连接AD，AC，∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2，∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x，解得x1=1+5，x2=1−5（舍去），∴BD=1+5．故答案为1+518．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4(3)[总结]随着n的增大，kn【解析】（1）由题意得，k3=1×3（2）设正方形的边长为1，∴此时正方形的内切圆半径为12，∴k设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则∠AOB=又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=1，∴OC=OA2-A（3）k3≈1.65，k4≈1.27，k6≈1.10，随着n的增大，中考真题练19．（2023年江苏无锡中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选C．20．（2023年湖南娄底中考真题）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°A．43π-3 B．43π-3【答案】C【解析】如图，连接AO，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD∴∠AOQ=∠DOH，∠COD=∠GOH=60°，∴∠COG=∴扇形AOQ与扇形COG重合，∴S阴影∵△COD为等边三角形，OC=OD=2，过O作OK⊥CD于K，∴∠COD=60°，CK=DK=1，OK=2∴S阴影=S21．（2023年山东滨州中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个