江苏省扬州市江都区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题 含解析

2024—2025学年度高二上学期数学期中测试2024.11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（）A.-2 B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】经过两点的直线的斜率为，又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B.2.对于任意的实数，直线恒过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分离参数，联立方程组可得解.【详解】直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故选：B.3.双曲线的焦点坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解.【详解】由已知双曲线的焦点为，则双曲线方程为，则，解得，故选：A.4.已知圆：和圆：，则两圆的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心和半径，进而可得，即可判断两圆位置关系.【详解】圆：和圆：，可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为，即，所以两圆的位置关系为相交.故选：C.5.点关于直线的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.【详解】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.6.若双曲线经过点，且它两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由渐近线方程可设双曲线为且，再由点在双曲线上，将点代入求参数m，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，所以，则双曲线的方程是.故选：A7.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围.【详解】由直线可知，则，由圆可知圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，设点到直线的距离为，则，即，所以面积.故选：C.8.设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据可知，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得，，结合勾股定理可得离心率.【详解】设椭圆右焦点为，连接，，由，则为直角三角形，，由已知直线的斜率为，则，即，又，则，，在中由勾股定理得，即，整理可得离心率，故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线：，：，则下列结论正确的是（）A.在轴上的截距为 B.若，则或C.若，则 D.若不经过第二象限，则【答案】AD【解析】【分析】将化简得，根据截距的定义可判断A，结合一次函数的性质即可判断D；对于B：举反例说明即可；对于C：根据直线垂直的计算公式运算即可.【详解】对AD，直线：，即，所以在轴上的截距为，故A正确；若不经过第二象限，则，解得，故D正确；对B，当时，此时直线，两条直线重合，故B错误；对C，若，则，解得，故C错误；故选：AD.10.已知圆：，点，则下列结论正确的是（）A.点在圆外B.圆上动点到点距离的最大值为C.过点作圆的切线，则切线方程为或D.过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为【答案】AC【解析】【分析】根据方程可得圆心和半径.对于A：求PC，并与半径比较即可；对于B：根据圆的性质分析求解；对于C：分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解；对于D：可得其中一个切点2,1，根据可知直线的斜率，即可得方程.【详解】圆：的圆心为，半径，对于选项A：因为，可知点在圆外，故A正确；对于选项B：圆上动点到点距离的最大值为，故B错误；对于选项C：若直线的斜率不存在，此时直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意；若直线斜率存在，设直线方程为，即，则，解得，所以直线方程为；综上所述：切线方程为或，故C正确；对于选项D：直线与圆切与点2,1，记为点A，且直线的斜率，因为，可知直线的斜率，所以直线方程为，即，故D错误；故选：AC.11.如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（）A.， B.若双曲线的方程是，则C.若，则 D.的面积为【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据椭圆、双曲线的定义运算求解即可；对于B：可得，结合选项A可得，，即可得结果；对于C：根据题意利用余弦定理分析可得，即可得离心率；对于D：根据余弦定理结合椭圆、双曲线的定义整理可得，进而可求面积.【详解】对于选项A：由椭圆：可知，即，双曲线：可知，且点在第一象限，则，解得，故A正确；对于选项B：若双曲线的方程是，则，可得，，则，即，所以，故B正确；对于选项C：若，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，故C错误；对于选项D：在中，由余弦定理可得，结合椭圆定义可得，即，整理可得，结合双曲线的定义可得，即，整理可得，则，且为锐角，可得，所以的面积为，故D正确；故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）12.若方程表示圆，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可.【详解】若方程表示圆，则，即，可得，所以实数取值范围为.故答案为：.13.已知直线与直线平行，则与之间的距离为______.【答案】【解析】【分析】根据平行，可得参数，再结合平行线间距离公式可得解.【详解】由已知两直线平行，则，解得，则，即，所以距离，故答案为：.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据圆上点到定点的距离范围可知，即，结合椭圆的定义可转化为，即可得解.【详解】由椭圆可知椭圆的实轴长，F1−1,0，F2圆的圆心，半径，由已知圆上任意一点到得距离，所以，又根据椭圆定义，则，当且仅当，都在线段上时，等号成立，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，，，.（1）求中，边上的中线所在直线的方程；（2）求中，边上的高所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式可得线段的中点为，利用两点式方程即可得结果；（2）根据垂直关系可得高所在直线的斜率为，利用点斜式方程即可得结果.【小问1详解】由题意可知：线段的中点为，则边上的中线所在直线的方程为，即.【小问2详解】由题意可知：直线的斜率，则边上的高所在直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.16.已知圆的圆心在直线上，且过，两点.（1）求圆标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程；（2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可.【小问1详解】由，，则中点为，，易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率，则中垂线方程为，即，联立，解得，即圆心，半径，所以圆的方程为；【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线，即，圆心到直线的距离，则弦长为，解得，即直线；当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离，弦长为成立；综上所述，直线的方程为或.17.已知椭圆：（）经过点，焦距为，过点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据焦距和点列式求，即可得椭圆方程；（2）由题意可知：直线的方程，联立方程求点的坐标，即可得MN，以及点到直线的距离，即可得面积【小问1详解】因为焦距为，即，可得，又因为点在椭圆：上，即，联立方程，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意可知：直线，即，联立方程，解得或，不妨设，则，且点到直线的距离，所以的面积.18.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点.①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值；②满足，求直线方程.【答案】（1）（2）①；②或【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程；（2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程.【小问1详解】由已知，，动点满足，则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义，即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，即轨迹方程为；【小问2详解】①设点Mx1,y1则，，又点，在曲线上，则，作差可得，即，则；②设直线，联立直线与双曲线，得，恒成立，且，，又，，，则，则，，所以，解得，，即直线方程为，即或.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．19.如图，已知椭圆：（）的上顶点为A0,3，离心率为，若过点作圆：（）的两条切线分别与椭圆相交于点，（不同于点）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线和的斜率分别为，，求证:为定值；（3）求证：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程；（2）根据切线性质解得点到直线的距离公式整理可得，结合韦达定理分析证明；（3）联立方程求点的坐标，进而可得直线的方程，结合方程分析定点.【小问1详解】因为椭圆的上顶点为，离心率为则解得，所以椭圆的方程为.【小问2