河南省驻马店市第十中学2024-2025学年上学期九年级数学期中测试（解析版）

第1页/共1页2024年秋季九年级数学期中测试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】、，是二元一次方程，原选项不符合题意；、，是二元二次方程，原选项不符合题意；、，是分式方程，原选项不符合题意；、，是一元二次方程，原选项符合题意；故选：．2.下列各组线段中，成比例的是（

）A.2cm，3cm，4cm，5cm B.2cm，4cm，6cm，8cmC.3cm，6cm，8cm，12cm D.1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【解析】【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．【详解】解：A、∵，∴选项A不成比例；B、∵，∴选项B不成比例；C、∵，∴选项C不成比例；D、∵，∴选项D成比例．故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是掌握判断四条线段是否成比例的方法．3.下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（）A.对边相等 B.对角线相等C.四个角都是直角 D.对角线互相垂直【答案】D【解析】【详解】A.对边相等，是平行四边形的性质，矩形和正方形都具有；B.对角线相等，是矩形的性质，正方形也有；C.四个角都是直角，是矩形的性质，正方形也有；D.对角线互相垂直，是菱形的性质，正方形具有，而矩形没有，故选D.4.如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（）A.B.点C、点O、点三点在同一直线上C.D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴与是位似图形，∴，A选项说法正确，不符合题意；点C、点O、点三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；，C选项说法正确，不符合题意；，D选项说法错误，符合题意；故选：D．5.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，在中，，求的长，如果设，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键【详解】解：设，则，∵，∴∴，故选：B6.秦腔，别称“梆子腔”中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是中国国家级非物质文化遗产之一．如图是某同学收藏的秦腔邮票，分别是《火焰驹》《三滴血》和《游西湖》，它们除正面外完全相同．把这三张邮票背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了列表法求概率，先令三张邮票的正面是A，B，C，再列表得出所有可能出现的结果，符合条件的结果，然后根据概率公式得出答案．【详解】令三张邮票的正面是A，B，C，列表如下：

ABCABC由表格可知，一共有9种可能出现的结果，3种符合条件的结果，所以两次抽取的卡片正面相同的概率是．故选：A．7.如图，四边形是菱形，，，于，则等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【详解】解：∵AC=12，DB=16，∴AO=6，BO=8，由勾股定理的，AB==10，∵AH⊥BC，∴S菱形ABCD=BC⋅AH=AC⋅BD，即10AH=×12×16，解得AH=，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．8.如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】如图，连接，由点是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果．【详解】解：如图，连接，点是的中点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，正方形的边长为2，，，，重叠部分四边形的面积为1．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是连接构造全等三角形．9.如图，在中，是高，矩形的顶点，分别在边，上，在边上若，，且，则矩形的周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，矩形的性质，能够灵活运用比例线段解决本题的关键．由四边形是矩形，是边上的高，，易证，，可得出，，结合，，，可得出，的值，故可得出矩形的周长．【详解】解：四边形是矩形，是边上的高，，，，，，，，，，又，，，，，则，矩形的周长为，故选：A．10.如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是边上的动点，且，连接，则的最小值为（）A8 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接AE，证明△ABE≌△BCF转化线段AE=BF，可得到BF+DE=AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E′点，则DH的长为最小值，利用勾股定理求出DH长即可．【详解】解：连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又BE=CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE=BF，所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，连接EH、BH，则A、B、H三点共线，且AE=EH，BH=AB=4，连接DH交BC于E′，则AE+DE=EH+DE≥DH，当点E在E′处时取等号，∴BF+DE最小值为DH的长度．在Rt△ADH中，AH=8，AD=4，∴DH=，∴BF+DE最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段和最短距离问题，都利用对称性质和两点之间线段最短转化为一条线段长．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．11.已知，若b+d≠0，则＝_____．【答案】【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵，∴b=3m，d=3n，∴==，故答案为：【点睛】本题考查等比性质的应用，若，则=k，熟练掌握等比性质是解题关键.12.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．【答案】且【解析】【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是即可进行解答【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根得，解得则且故答案为且【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．13.如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___．【答案】4【解析】【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出，将其代入即可得出结论．【详解】解：关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题关键．14.如图，F是正方形对角线上一点，连接，并延长交于点E．若，则的度数为_________．【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用正方形的性质，由可证，依据全等三角形的对应角相等，可得，由三角形的外角性质可得到的度数，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，，，故答案为：．15.中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】连接，可推出四边形是矩形，可得；当时，线段有最小值，此时也有最小值．详解】解：∵∴四边形是矩形连接，则过点M，且当时，线段有最小值，此时也有最小值∵∴

则有∴故答案：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等．确定是解题关键．三、解答题：本题共7小题，共75分．16.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了一元二方程的解法，根据所给一元二次方程的特点选择适当的解法是解题的关键．（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：移项，得，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，配方，得，解得，；【小问2详解】解：，这里，，，，∴，∴，．17.在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生，2名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．【答案】（1）40人，补全图形见解析（2）480人（3）【解析】【分析】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．（1）用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；（3）分别用，，，表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可.【小问1详解】解：由①可知，A档有8人；本次调查人数是：（人）；∴C档人数是：（人），补充完整图2如图：【小问2详解】（人）答：全校B档的人数为480人，【小问3详解】用，表示2名来自八年级的学生，，表示2名来自九年级的学生，

所有的等可能的结果数有12个，抽到的2名学生来自不同年级的的结果数有8个，∴抽到的2名学生来自不同年级的概率．18.如图，在和中，，．（1）求证；（2）已知，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定定理证得与相似；（2）利用（1）中的相似三角形的对应边成比例得到：，由此可以求得的长度．【小问1详解】证明：∵，∴∴.又，∴.【小问2详解】解：∵，∴.又，，∴.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．19.张老师周末给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量周边某物体(高楼、路灯、大树等)的高度．善思小组决定测量人民公园一棵高大的柿子树的高度，下面是该小组的部分测量方案及测量数据：测量工具标杆，皮尺测量方案选一名同学作为观测者，在观测者与树之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使树的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．这时其他同学测出观测者的脚到树底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．测量示意图测量数据线段AB表示树，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到树底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离．…

请你根据上述信息，帮善思小组求出树AB的高度．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线的性质：过点作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形与四边形是矩形，，，，，由题意得，，，即，，，答：树AB的高度为．20.已知四边形为正方形，点在边上，连接．（1）尺规作图：过点作于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：．（请补全下面的证明过程）证明：在正方形中，，_____，，，，，∴_______．，______．通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论；两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等．【答案】（1）见解析（2）；；；垂直【解析】【分析】本题考查了过一点作线段垂线，余角性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．（）利用基本作图，过点作的垂线即可；（）先根据等角的余角相等得到，则可判断，所以，于是探究得到：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等；【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】证明：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等．21.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【答案】（1）当天可获利1692元（2）（3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意；（1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解；（2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解；（3）根据（2）及题意可进行求解．【小问1详解】解：由题意得：（元）；答：当天可获利1692元．【小问2详解】解：由题意得：，∴盈利与的函数关系式；【小问3详解】解：由（2）即题意得：，解得：，∵为了尽快减少库存，∴，答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．22.如图所示，在中，，，，点从点出发沿CA方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿AB方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）能，（3）或，理由见解析【解析】【分析】（）根据时间和速度表示出和CD的长，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出的长，可得，再证明即可求证；（）由（）知四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，即，据此列方程求解即可；（）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，②当时，③当时，分别找出等量关系列方程即可求出的值即可．【小问1详解】证明：由题意得，，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；∵，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：四边形能够成为菱形，理由如下：由（）得，四边形为平行四边形，若为菱形，则，∵，，∴，∴，∴，∴当时，四边形能够成为菱形；【小问3详解】解：分三种情况：