专项01 二次函数表达式的三种常见求解方法

专项01二次函数表达式的三种常见求解方法类型一已知图象上任意三点，通常设一般式1.(2023江苏徐州铜山期中)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，2)、B(0，-1)、C(1，-2).(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象；(3)结合图象，直接写出当0<x<3时，y的取值范围.2.(2023河南鹤壁淇滨期末)如图，在直角坐标系中，二次函数经过A(-4，0)，B(0，4)，C(4，4)三点.(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，△ABD的周长最小.类型二已知顶点、对称轴、最值，通常设顶点式3.(2023吉林长春第二实验中学期中)已知一个二次函数有最大值4，且当x>5时，y随x的增大而减小，当x<5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式.4.(2023河南周口淮阳模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表：x…-4-3-2-1012…y…-50343m-5…(1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；(2)求该二次函数的表达式.5.(2023吉林东北师大附中月考)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x=-12(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.类型三已知图象与x轴的两个交点坐标和另一个点的坐标，通常设交点式6.(2023山西长治上党期末)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c过A(-1，0)，B(2，0)，C(0，-4)三点.(1)求抛物线的表达式；(2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连结AP交线段BC于点G，如果AG∶GP=3，求点P的坐标.7.(2023河南漯河郾城期末)如图，定义：直线l：y=mx+n(m<0，n>0)与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”.(1)若直线l：y=-2x+2，则求它的“纠缠抛物线”的函数解析式；(2)判断并说明直线y=-2x+2k与抛物线y=-1kx2

专项01二次函数表达式的三种常见求解方法答案全解全析1.解析(1)∵函数图象经过A(-1，2)、B(0，-1)、C(1，-2)，∴把A，B，C三点坐标代入函数解析式中得a−b+c=2,c=−1,a+b+c=−2,解得a=1,b=−2,(2)画出二次函数的图象如下：(3)由图象可知，当0<x<3时，y的取值范围是-2≤y<2.2.解析(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，将A、B、C三点坐标代入得16a−4b+c=0,c=4,16a+4b+c=4,解得a=−18,b=1(2)抛物线y=-18x2+12x+4的对称轴为直线x=-b2a=2，如图，连结AC与对称轴直线x=2交于点D，∵B(0，4)，C(4，4)，∴B、C关于对称轴直线x=2对称，∴DB=DC，∴AD+BD=AD+CD=AC，∵AB=42+42=42，为定值，∴此时△ABD的周长取得最小值，点D即为所求.设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0)，将A、C两点坐标代入得-4k+m=0,4k+m=4,解得k=12,m=2,故直线AC的解析式为y=3.解析由题意得二次函数的顶点坐标为(5，4)，设函数解析式为y=a(x-5)2+4(a≠0)，把(2，1)代入得1=9a+4，解得a=-13，∴该二次函数的解析式为y=-13(x-5)4.解析(1)∵抛物线经过点(-2，3)，(0，3)，∴抛物线的对称轴为直线x=-2+02=-1，∵x=1和x=-3所对应的函数值相等，(2)由(1)可知抛物线的顶点坐标为(-1，4)，∴设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0)，把(0，3)代入得3=a×(0+1)2+4，解得a=-1，∴该二次函数的表达式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3.5.解析(1)设抛物线的解析式为y=ax+12把A(2，0)、C(0，3)代入得254a+k=0,∴y=-12x+122+258，即y=-(2)由y=0得-12x+122+258=0，解得x1=2，x2=-3，∴B(-3，0)，①当CM1=BM1时，∵BO=CO=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴当点M1在原点O处时，△MBC是等腰三角形，∴M1(0，0)；②当BC=BM2时，在Rt△BOC中，BO=CO=3，由勾股定理得BC=OC2+OB2=32，∴BM2=32，∴OM2=BM2-OB=32-3，∴M2(3③当CM3=BC时，易得BM3=6，此时点M3不在线段AB上，∴此情况不符合题意，舍去.综上所述，当△MBC为等腰三角形时，点M的坐标为(32-3，0)或(0，0).6.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1，0)，B(2，0)，∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2).将C(0，-4)代入得-2a=-4，解得a=2，∴抛物线的表达式为y=2(x+1)(x-2)，即y=2x2-2x-4.(2)如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，∴AD∥PE，∴△ADG∽△PFG，∴ADPF=AGGP=3.设直线BC的解析式为y=kx-4(k≠0)，将B(2，0)代入得2k-4=0，解得k=2，∴直线BC的解析式为y=2x-4，当x=-1时，y=2x-4=-6，∴AD=6，设P(m，2m2-2m-4)，则F(m，2m-4)，∴PF=2m-4-(2m2-2m-4)=-2m2+4m，∴ADPF=6-2m2+4m=3，整理得m27.解析(1)在y=-2x+2中，令y=0，得x=1，令x=0，得y=2，∴A(1，0)，B(0，2)，∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OD=OB，∴D(-2，0)，∵直线y=-2x+2的“纠缠抛物线”过A(1，0)，D(-2，0)，∴设“纠缠抛物线”的函数解析式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，把B(0，2)代入得2=-2a，∴a=-1，∴直线l：y=-2x+2的“纠缠抛物线”的函数解析式为y=-(x+2)(x-1)=-x2-x+2.(2)直线y=-2x+2k与抛物线y=-1kx2理由如下：在y=-2x+2k中，令x=0，得y=2k，令y=0，得x=k，∴A(k，0)，B(0，2k)，∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴D(-2k，0)，∵直线y=-2x+2k的“纠缠抛物线”过