新高考数学二轮复习 易错点13 多面体的表面积和体积（解析版）

易错点13多面体的表面积和体积多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。易错点1：基础知识不扎实对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点4：空间想象能力欠缺题组一：侧面积与表面积1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D．【答案】C【解析】由题2可知：该几何体是棱长为的正方体割掉一部分剩下的一个角，如图所示，其面积为：，故选：C．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为SKIPIF1<0则该圆锥的侧面积为________.【答案】SKIPIF1<0【分析】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．90D．81【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为SKIPIF1<0和3，故面积都为SKIPIF1<0，则该几何体的表面积为2(9+18+SKIPIF1<0)=54+SKIPIF1<0．题组二：体积4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】解法一由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积SKIPIF1<0，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积SKIPIF1<0，故该组合体的体积SKIPIF1<0．故选B．解法二该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为SKIPIF1<0．选B．5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥SKIPIF1<0，其体积为SKIPIF1<0，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为SKIPIF1<0，故所求比值为SKIPIF1<0．6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体SKIPIF1<0挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，SKIPIF1<0，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________(g).【答案】118.8【解析】该模型为长方体SKIPIF1<0，挖去四棱锥SKIPIF1<0后所得的几何体，其中O为长方体的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别为所在棱的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以该模型体积为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度因为为SKIPIF1<0，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：SKIPIF1<0．7.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．【答案】26,2【解析】由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a，则由题知SKIPIF1<0，第一空填26，第二空填2−题组三：圆柱和圆锥中的问题8．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0，圆锥母线长为SKIPIF1<0，圆柱高为SKIPIF1<0．由图得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选C．9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.10．（2021上海卷）在圆柱中，底面圆半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，上底面圆的直径为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则SKIPIF1<0的面积的范围________．【答案】SKIPIF1<0【解析】当点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的投影时，面积最小SKIPIF1<0；当点SKIPIF1<0为弧SKIPIF1<0中点的投影时，面积最大SKIPIF1<0，因此面积的取值范围为SKIPIF1<011．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】：根据题意，可得截面是边长为SKIPIF1<0的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是SKIPIF1<0的圆，且高为SKIPIF1<0，所以其表面积为SKIPIF1<0，故选B.题组四：大题12．【2021年新课标1卷】如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）方法一：由题意可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴垂直于面SKIPIF1<0，建系如图：设SKIPIF1<0点纵坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由相似可得SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；易得面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由相似易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．方法二：几何法如图，取SKIPIF1<0的三等分点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的三等分点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0,由相似易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．13．（2021全国甲卷文）已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析.【解析】(1)因为三棱柱SKIPIF1<0的直三棱柱，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0为直角三角形，则△SKIPIF1<0为直角三角形，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共面，因为侧面SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以侧面SKIPIF1<0为正方形，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，由平面几何知识可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14.【2021年乙卷】如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四棱锥SKIPIF1<0的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由线面垂直的判定定理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，由平面知识可知，SKIPIF1<0，由相似比可求出SKIPIF1<0，再根据四棱锥SKIPIF1<0体积公式即可求出．【详解】（1）因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0．1．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为SKIPIF1<0)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=，故选A．3．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】原毛坯的体积SKIPIF1<0，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积SKIPIF1<0，故所求比值为SKIPIF1<0．4．正三棱柱SKIPIF1<0的底面边长为2，侧棱长为SKIPIF1<0，D为BC中点，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为A．3B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意可知SKIPIF1<0，由面面垂直的性质定理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选C．5．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的SKIPIF1<0，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则小圆锥的高为SKIPIF1<0，大圆锥的高为SKIPIF1<0，所以比值为SKIPIF1<0．6.如图，长方体SKIPIF1<0的体积是120，E为SKIPIF1<0的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.【答案】10【解析】因为长方体SKIPIF1<0的体积是120，E为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.7．已知圆锥的顶点为SKIPIF1<0，母线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0与圆锥底面所成角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【详解】：如下图所示，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该圆锥的体积为SKIPIF1<0.8．如图，圆形纸片的圆心为SKIPIF1<0，半径为5cm，该纸片上的等边三角形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为折痕折起SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合，得到三棱锥。当SKIPIF1<0的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：SKIPIF1<0)的最大值为_______。【解析】如图连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，设等边三角形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题意可知三棱锥的高SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，三棱锥的体积为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．9.如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0是底面的内接正三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=SKIPIF1<0，圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0为圆锥顶点，SKIPIF1<0为底面圆心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆内接正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）设圆锥的母线为SKIPIF1<0，底面半径为SKIPIF1<0，圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.10.如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=SKIPIF1<0，求四棱锥B–EB1C1F的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0在等边SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0侧面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0