新高考数学二轮复习 易错点12立体几何中的平行与垂直（解析版）

易错点12立体几何中的垂直与平行在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。立体几何中平行与垂直的易错点更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视SKIPIF1<0三个条件中的某一个。易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；题组一：基本性质定理1．（2021年浙江卷）已知正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则（）. A．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 C．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0 【答案】A 【解析】如图，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<02．（2021新高考1卷多选题）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0内．A选项，当SKIPIF1<0时，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此周长SKIPIF1<0不为定值，所以选项A错误；B选项，当SKIPIF1<0时，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．由图可知，线段SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离处处相等，SKIPIF1<0的面积是定值，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，所以选项B正确；C选项，当SKIPIF1<0时，分别取线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．很显然若点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合时，均满足题意，所以选项C错误．D选项，当SKIPIF1<0时，分别取线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（包括端点）上运动．此时，有且只有点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0点重合时，满足题意.所以选项D正确．因此，答案为BD.3.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺【解析】如图所示，联结，.因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，所以，，

所以．故选B．4.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；对于B，内有两条相交直线与平行，则；对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．故选B．题组二：线面平行5. （2021天津卷）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【解析】（1）以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，建立如图空间直角坐标系，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；6．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为等边三角形且垂直于底面三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．证明：直线SKIPIF1<0∥QUOTECE//平面SKIPIF1<0；【解析】（1）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0∥QUOTECE//平面SKIPIF1<0．7.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；【解析】（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．题组三线线垂直8.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；【解析】（1）因为SKIPIF1<0是直三棱柱SKIPIF1<0中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故如图右图所示，建立空间直角SKIPIF1<0坐标系：于是SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由BF⋅DE=09.（2021全国甲卷理）已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1(1)略(2)已知D为棱A1B1【解析】(2)取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共面，因为侧面SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以侧面SKIPIF1<0为正方形，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，由平面几何知识可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.10．（2021新高考1卷）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．（1）证明：SKIPIF1<0；【解析】（1）因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．11．(2021浙江卷)如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0． （1）证明：SKIPIF1<0；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺 （2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．SKIPIF1<0【解析】（1）因为ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，所以SKIPIF1<0，AB∥DC，DC=AB=1．因为M为BC中点，BC=4，所以CM=2． 在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0， 因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0． 因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．题组四：线面垂直12．（2016全国II）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E，F分别在AD，CD上，SKIPIF1<0，EF交BD于点H．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折到SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0．（=1\*ROMANI）证明：SKIPIF1<0平面ABCD；【解析】（I）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵四边形SKIPIF1<0为菱形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．13．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【解析】(1)因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．连结SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．14.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．题组五：面面垂直15.（2021新高考2卷）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）证明：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【解析】（1）证明：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.16（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．17．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为折痕把SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【解析】(1)由已知可得，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面PEF．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0．18．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形SKIPIF1<0所在的平面与半圆弧SKIPIF1<0所在平面垂直，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的点．(1)证明：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【解析】(1)由题设知，平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，交线为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的点，且SKIPIF1<0为直径，所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0．1．已知平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，由线面平行的判定定理知SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不一定推出SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能异面，故“SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0”的充分不必要条件．故选A．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺2．若SKIPIF1<0是两条不同的直线，SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”推出“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”，但由“SKIPIF1<0且SKIPIF1<0”可推出“SKIPIF1<0”，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要而不充分条件，故选B．3．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．证明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；【解析】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0．4．如图，直三棱柱中，分别是的中点，（Ⅰ）证明：//平面；【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，平面，所以//平面；5．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．证明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．EOSKIPIF1<0平面AEC,PBSKIPIF1<0平面AEC，所以PB∥平面AEC．6．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0⊥底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【解析】由已知得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平行且等于SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，于是SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．7．如图，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=60°．证明SKIPIF1<0；【解析】取AB中点E，连结CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；8．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．QUOTE∠BAP=∠CDP=90∘证明：平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；【解析】由已知SKIPIF1<0，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又ABSKIPIF1<0平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．9．如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；【解析】由题设可得，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0是直角三角形，所