新高考数学二轮复习 易错点11 球（解析版）

易错点11球球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题和填空题出现。易错点1：公式记忆错误易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误题组一：以三视图为背景1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是SKIPIF1<0EQ\F(28π,3)，则它的表面积是 () A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是SKIPIF1<0个球，设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以它的表面积是SKIPIF1<0，故选A．2．(2015高考数学新课标1理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为SKIPIF1<0)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得r=2，故选B．题组二，以棱（圆）柱为载体3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为SKIPIF1<0，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意可知三棱柱是棱长都是a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外切球的半径为OA1,又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面，所以，那么圆柱的体积是，故选B．法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的体积为，故选B．题组三：以棱（圆）锥为载体5．(2021年高考全国甲卷理科)已如A． B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解析：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，又球的半径为1，设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A．6.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为SKIPIF1<0，两个圆锥的高之比为SKIPIF1<0，则这两个圆锥的体积之和为A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点SKIPIF1<0，设圆锥SKIPIF1<0和圆锥SKIPIF1<0的高之比为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，这两个圆锥的体积之和为SKIPIF1<0.故选：B.7.（2020年全国1卷）已知SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的球面上的三个点，⊙SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆，若⊙SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】设圆SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0，依题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等边三角形，由正弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据球的截面性质SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故选：A

【叮嘱】球的有关性质性质1.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.性质2.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为:R2=d2+r2.性质4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.性质5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6.若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心SKIPIF1<0是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为SKIPIF1<0等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0外接圆半径为SKIPIF1<0，边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是面积为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．故选：C．9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中SKIPIF1<0，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设内切圆半径为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，其体积：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题组四：与最值相关10．(2015高考数学新课标2理科)已知SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的球面上两点，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为该球面上的动点，若三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为36，则球SKIPIF1<0的表面积为 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面SKIPIF1<0的直径端点时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设SKIPIF1<0是同一个半径为SKIPIF1<0的球的球面上四点，SKIPIF1<0为等边三角形且其面积为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，故球心SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故选B．12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在封闭的直三棱柱SKIPIF1<0内有一个体积为SKIPIF1<0的球,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最大值是 ()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】要使球的体积SKIPIF1<0最大,必须球的半径SKIPIF1<0最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值SKIPIF1<0,此时球的体积为SKIPIF1<0,故选B.1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为SKIPIF1<0，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】正方体的体积为SKIPIF1<0，其内切球的体积为SKIPIF1<0，由条件可知牟合方盖的体积为SKIPIF1<0，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为SKIPIF1<0.故选：C2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．200π B．100π C．SKIPIF1<0 D．50SKIPIF1<0【答案】D【解析】由三视图可得该几何体为如图的长方体中的四面体A1BC1D,四面体A1BC1D与长方体的外接球是同一个球，长方体的外接球的直径即为长方体的对角线，SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，故选：D.3．已知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0外一点，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0做直线SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为直角三角形，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的圆心，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根据球的性质，球心一定在垂线SKIPIF1<0上，且球心为SKIPIF1<0的外心.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0即外接球的半径为SKIPIF1<0，所以体积为SKIPIF1<0.故选：D4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为SKIPIF1<0，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球SKIPIF1<0的表面上，则球SKIPIF1<0的表面积是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由三视图可还原几何体为从长、宽均为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的长方体中截得的四棱锥SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球即为长方体的外接球，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故选：A.5．已知边长为2的等边三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为折痕进行折叠，使折后的SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点的球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】边长为2的等边三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为折痕进行折叠，使折后的SKIPIF1<0，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，球面积SKIPIF1<0，故选:D.6．在四边型SKIPIF1<0中（如图1所示），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将四边形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折成四面体SKIPIF1<0（如图2所示），使得SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0外接球的球心，则外接球的半径为：SKIPIF1<0，所以四面体SKIPIF1<0外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：D.7．已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0，如图，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，由题可知，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0在正SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0.从而直角三角形SKIPIF1<0中解得SKIPIF1<0.进而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此正三棱锥SKIPIF1<0可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥SKIPIF1<0的外接球相同，正方体对角线的中点为球心SKIPIF1<0.记外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：B8．在体积为SKIPIF1<0的直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，则该三棱柱外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0的边长为a，由SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.由三棱柱的体积为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设三棱柱外接球的半径为R，则SKIPIF1<0，故该三棱柱外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：A．9．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若该三棱锥的体积为SKIPIF1<0，则其外接球表面积的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故底面三角形外接圆半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0离平面SKIPIF1<0最远时，外接球表面积最小，此时，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的投影为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，设球心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，化简得到SKIPIF1<0，双勾函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D.10．已知三棱锥SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0