新高考数学二轮复习 易错点10不等式（解析版）

易错点10不等式易错点1：线性规划求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.易错点2：基本不等式均值不等式SKIPIF1<0（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；②变形：SKIPIF1<0（当仅当a=b时取等号）易错点3：绝对值不等式(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．易错点4：柯西不等式(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(eq\f(1,a\o\al(2,1))＋eq\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,a\o\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．题组1线性规划1．（2021浙江卷）若实数SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）. A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，画出可行域，显然过点SKIPIF1<0时，取到最小值，即SKIPIF1<0，故选B．2．（2021年全国乙卷文）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最小值为A．18B．10C．6D．4【答案】C【解析】由约束条件可得可行域如图所示，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值为6，故选C．3．（2021上海卷）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________．【答案】4【解析】画出可行域易得最优解为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<04.（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件SKIPIF1<0则z＝x＋7y的最大值为______【答案】1.【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：SKIPIF1<0，可得点A的坐标为：SKIPIF1<0，据此可知目标函数的最大值为：SKIPIF1<0.故答案为：1．题组2基本不等式5．（2021年全国乙卷文）下列函数最小值为4的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意可知A的最小值为3，B的等号成立条件不成立，D无最小值．6．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故C不正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故D正确；故选：ABD7.（2020年天津卷）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_____．【答案】4【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0＝4时取等号，结合SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，等号成立.故答案为：SKIPIF1<08.（2020年江苏卷）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号.∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题组3含绝对值不等式9.（2021年全国甲卷）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像.若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】见解析【解析】易知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像为由（1）中的图可知，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0左右平移SKIPIF1<0个单位得到的结果，向右平移不合题意，向左平移至SKIPIF1<0的右支过点曲线，SKIPIF1<0上的SKIPIF1<0点为临界状态，此时SKIPIF1<0右支的解析式为SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若要满足题意，则SKIPIF1<0要再向左平移，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<010.（2021年全国乙卷）已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0的解集；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0.综上，原不等式的解集为SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0时，等号成立），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.11．（2020全国Ⅰ文理22）已知函数SKIPIF1<0．（1）画出SKIPIF1<0的图像；（2）求不等式SKIPIF1<0的解集．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，作出图像，如图所示：（2）将函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位，可得函数SKIPIF1<0的图像，如图所示：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴不等式的解集为SKIPIF1<0．12．（2020江苏23）设SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴解集为SKIPIF1<0．题组4格西不等式13．（2021年浙江卷）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．记平面向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向上的投影分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，取得等号）．14．（2019全国I文理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．【解析】（1）因为，又，故有，∴．（2）因为为正数且，故有=24．∴．1.下列不等式恒成立的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】B2．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则一定有A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由不等式性质知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．20 B．24 C．25 D．28【解析】由题意SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立．故选：C．4．若实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足不等式组SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如图，绘出不等式组SKIPIF1<0表示的平面区域，然后通过平移直线SKIPIF1<0即可得出过点SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，无最大值，则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：C.5．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点SKIPIF1<0处取得最小值SKIPIF1<0.在点SKIPIF1<0处取得最大值SKIPIF1<0，选B．6.（多选题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】对于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故C不正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故D正确；故选：ABD7.若SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为____________.【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则数形结合可得，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08.设，，，则的最小值为__________.【解析】，，，

而.

由基本