新高考数学二轮复习讲义+分层训练专题21 等差数列与等比数列专项训练（解析版）

等差数列与等比数列专项测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）已知等比数列SKIPIF1<0各项均为正数，公比SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】根据等比数列的性质可得SKIPIF1<0，根据各项均为正数，得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而求解.【详解】因为SKIPIF1<0，由等比数列的性质可得：SKIPIF1<0，又因为数列SKIPIF1<0各项均为正数，所以SKIPIF1<0，因为公比SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.2．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）数列SKIPIF1<0中，如果SKIPIF1<0，则Sn取最大值时，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】A【分析】根据等差数列前SKIPIF1<0项和的表达式，利用二次函数求最值即可.【详解】由题意可知：数列SKIPIF1<0是以45为首项，以SKIPIF1<0为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的二次函数，开口向下，对称轴SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，即数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和最大，故选：SKIPIF1<0.3．（2023·四川成都·统考一模）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．512 B．510 C．256 D．254【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】由SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公式的等比数列，于是SKIPIF1<0，故选：C4．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先根据条件列出等比数列基本量的方程，求出基本量，再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，无解；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：C.5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根据递推公式一一计算可得.【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C6．（2023·广西桂林·统考一模）已知正项等比数列SKIPIF1<0}满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0.【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B.7．（2022·四川南充·统考一模）已知数列满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2023项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意得到SKIPIF1<0，再利用裂项法求和即可.【详解】由题知：数列满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，检验：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合.所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.故选：D8．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列SKIPIF1<0的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0．故选:C．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）记数列SKIPIF1<0是等差数列，下列结论中不恒成立的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则对于A，由数列SKIPIF1<0是等差数列及SKIPIF1<0，所以可取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，故A正确；对于B，由数列SKIPIF1<0是等差数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，故B不正确；对于C,由数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，故C正确；对于D，由数列SKIPIF1<0是等差数列，得SKIPIF1<0，无论SKIPIF1<0为何值，均有SKIPIF1<0所以若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒不成立，故D正确.故选：ACD.10．（2022·江苏·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的公差不为0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0成等比数列，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】先求出通项公式SKIPIF1<0，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为d（SKIPIF1<0）.因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0.解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.对于A：SKIPIF1<0.故A正确；对于B：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故B正确；对于C：SKIPIF1<0.故C错误；对于D：因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故D正确.故选：ABD11．（2022·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有SKIPIF1<0个球，从上往下n层球的球的总数为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】根据题意求得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，利用累加法求出SKIPIF1<0即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，SKIPIF1<0，以上n个式子累加可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0，故A错误；则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故B正确；有SKIPIF1<0，故C正确；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD.12．（2022·重庆·校联考二模）设等差数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论中正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值C．SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为29【答案】ABC【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.【详解】解：根据题意，由SKIPIF1<0.故A正确；因为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，故B正确；由于SKIPIF1<0，故C正确；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此n的最小值为SKIPIF1<0，故D错误.故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______【答案】2【分析】利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】因为等比数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，所以由题设得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：214．（2018·上海虹口·统考二模）已知SKIPIF1<0是公比为q的等比数列，且SKIPIF1<0成等差数列，则q＝_____．【答案】SKIPIF1<0或1【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.【详解】在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或115．（2023·江西·校联考一模）已知等比数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用等比数列得性质得出SKIPIF1<0，再将所求式子通分代入即可求得.【详解】因为SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：1016．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）已知等比数列{SKIPIF1<0}各项均为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0(m为常数)的两根，数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前2022项和为_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先根据条件求得等比数列{SKIPIF1<0}的前n项和为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中可看出可以通过裂项相消法求和．【详解】等比数列{SKIPIF1<0}中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两根SKIPIF1<0，设数列{SKIPIF1<0}的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴数列SKIPIF1<0的前2022项和SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023·四川内江·统考一模）数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）把递推关系式里的SKIPIF1<0换成SKIPIF1<0得到一个新的递推公式，两个递推相减可得到.(2)裂项相消求和，然后求和的范围.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②②减①得：SKIPIF1<0经检验SKIPIF1<0也符合SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<018．（2023·湖南湘潭·统考二模）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】（1）令SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的值，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式作差可得出SKIPIF1<0的表达式，再验证SKIPIF1<0的值是否满足SKIPIF1<0的表达式，综合可得出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）计算得出SKIPIF1<0，利用裂项相消法求出数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0，①则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0，故对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．19．（2023·湖南长沙·统考一模）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，数列SKIPIF1<0为等比数列，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；（2）用错位相减法求数列SKIPIF1<0的和．【详解】（1）解：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）解：由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①-②，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.20．（2023·广西桂林·统考一模）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0(1)证明：数列{SKIPIF1<0}为等差数列；(2)SKIPIF1<0，求λ的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；（2）由（1）求得SKIPIF1<0，从而代入已知等式后求得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．【详解】（1）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项和公差的等差数；（2）由(1)知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0满足上式，∴SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．21．（2022·广东广州·统考一模）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据已知条件求得数列SKIPIF1<0的首项和公差，从而求得SKIPIF1<0.（2）利用错位相减求和法求得SKIPIF1<0.【详解】（1）设等差数列的公差为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.22．（2022·陕西渭南·统考一模）已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0