概率论课后习题解答

习题1解答

1.写出以下随机试验的样本空间Q：

(1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)；

(2)生产产品直到有1()件正品为止，记录生产产品的总件数；

(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2

件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果：

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：(1)以〃表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0,1,2,…，100〃，所以该试验的样本

空间为

n

(2)设在生产第10件正品前共生产了攵件不合格品，样本空间为

。={10+女比=0,1,2,…},

或写成。={10,11,12,・,}.

(3)采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查

到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

Q={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111J101,1110,1111).

(3)取直角坐标系，那么有O={(x,y)lf+y2<i},假设取极坐标系，那么有

Q={(A6>)|O<p<l,O<^<27i}.

2.设4、B、。为三事件，用A、B、C及其运算关系表示以下事件.

(1)A发生而8与。不发生；

(2)A、8、。中恰好发生一个；

(3)A、B、。中至少有一个发生；

(4)A、B、。中恰好有两个发生；

(5)A、B、C中至少有两个发生；

(6)A、B、C中有不多于一个事件发生.

解：(1)ABC或A-B-C或A-(3JC)；

(2)ABCABCJABC；

(3)41，8)。或45仁^8仁」^^。ABCABCABCABC；(4)ABC\jABC\ABC,

(5)AE\jAC\jBC或AB^ABC\jAB(\]ABC；(6)入豆①A》①工5。

3.设样本空间Q={x|0£xW2},事件A={x|0.5WxWl},B={x|0.8<x<1.6},具体写出以下

事件:

(DAB；(2)A-8；⑶A-B；(4)A、.

解：⑴A8={x|0.8vxWl}；

(2)A-B={x|0.5<x<0.8}；

(3)A-B={^|0<x<0.5fiJc0.8<x<2)；

(4)AJB={A:|0<JI<0.5WC1.6<X<2}.

4.一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为2〃,〃2,4〃一1,求p的值.

解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以

陛之得力=一3+日,〃2=-3-旧，又因为一个事件的概率总是大于0,所以〃=—3+JTT.

5.P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(AIJB)=0.8,求⑴P(A3)；(2)P(A-B).

⑶P(函.

解：(1)由P(AJ8)=尸Q4)+P(B)—P(A8)得

P(AB)=尸⑷+P(B)-P(A.3)=03+0.5-0.8=0,

(2)P(A-B)=P(A)-P[AB)=0.3-0=0.3.

(3)P(AB)=1-=l-P(AJ^)=l-0.8=0.2.

6.设尸(A8)=P(,。),且P(A)=〃，求P(8).

解：由尸(AB)=尸(Z与)=1—P^Ij=l—P(Aj8)=l—P(A)—P(3)+P(A3)得

P(A)+P(B)=1,从而P(B)=l-p.

7.设3个事件A、B、C,F(A)=0.4,F(B)=0.5,r(C)=0.6,"(AC)=0.2,P(KC)=0.4

且A4=0>,求P(A」3JC).

解：

8.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.

解：依题意可知，根本领件总数为43个.

以4,2,3表示事件“杯子中球的最大个数为2”，那么4表示每个杯子最多放一个球，共有反

种方法，故

4表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为

C；C：C；种，故

人表示3个球放入同一个杯子中，共有C：种放法，故

9.在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少？

解：从。至9中任取4个数进行排列共有10X9X8X7种排法.其中有(4X9X8X7—4X8X7+9X8

X7)种能成4位偶数.故所求概率为

4x9x8x7-4x8x74-9x8x7_41

10x9x8x7-90'

10.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求以下事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)

第一卷及第五卷出现在旁边：(3)第一卷或第五卷出现在旁边：(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)

笫三卷正好在正中.

解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以

p=2x4!/5!=2/5.

(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下

三卷可在中间三人上位詈上任意排，所以〃=2x3!/5占l/10.

(3)p=P｛第一卷出现在旁边｝+P｛第五卷出现旁边｝-P｛第一卷及第五卷出现在旁

山2217

&｝——十—・

551()1()

(4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以2=1-7/10=3/10.

(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以。=lx4!/5!=l/5.

11.把2,3,4,b诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数

⑵P⑷和陪泮隼膏=0.8285.

16.事件A发生的概率P(A)=0.5,B发生的概率P(B)=0.6,以及条件概率P(81A)=0.8,求

A,B和事件的概率.

解：由乘法公式得

所以

17.一批零件共100个，其中次品有10个.每次从中任取1个零件，取3次，取出后不放回.求第

3次才取得合格品的概率.

解：设4表示事件”第i次取得合格品”，那么

18.有两个袋子，每个袋子都装有〃只黑球，b只白球，从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,

然后从笫二个袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少？

解：设从第一个袋子摸出黑球A,从第二个袋中摸出黑球为B,那么

")=忌‘心=总'"4^'"心

由全概公式知:

19.一个机床有1的时间加工零件A,其余时间加工零件8.加工零件A时，停机的概率是0.3,

3

加工零件8时，停机的概率时().4,求这个机床停机的概率.

解：设。表示“机床停机”，A表示“加工零件A”，8表示“加工零件8"，那么

20.10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试.，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最

后,证明3人抽到难签的概率相同.

4

证明：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为A民C,那么，显然P(A)=布.

21.两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲、乙机器制造出的零件废品率分

别是0.01和0.02.现有同一机器制造的一批零件，估计这一枇零件是乙机器制造的可能性比它们是甲

机器制造的可能性大一倍，现从这批零件中任意抽取一件，经检查是废品.试由此结果计算这批零件是

由甲生产的概率.

解：设4表示“零件由甲生产”，〃表示“零件是次品“，那么

由贝叶斯公式有

22.有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.如果

他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是,、而乘飞机那么不会迟到.结果他迟到

4312

了，试问他是乘火车来的概率是多少？

解：用A表示“朋友乘火车来”，4表示“朋友乘轮船来”，A,表示“朋友乘汽车来”，儿表示“朋

友乘飞机来8表示“朋友迟到了那么

23.加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不七现废品的概率分别是0.9、0.95、0.8.假

设假定各工序是否出废品相互独立，求经过三道工序而不出现废品的概率.

解：设4，，=1,2,3分别表示第一、二、三道工序不出现废品，那么由独立性得

24.三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25.求密码被破译的概率.

解：设A，7=1,2,3分别表示第一、二、三个人破译出密码，那么

由独立性得

25.对同一目标，3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5和0.7,求三人同时向目标各射一发子弹

而没有一发中靶的概率？

解：设4,i=l,2,3分别表示第一、二、三个射手击中目标，那么

由独立性得

户区可无)=P(^)P(A)P(A)=(1-0.4)(1-O.5)(l-0.7)=0.09.

26.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击

中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,假设三人都击中，飞机必定被击落，求飞机

被击落的概率.

解：设C，i=l,2,3依次表示甲、乙、丙击中飞机，耳/=1,2,3分别表示有i人击中飞机，8表示

飞机被击落，那么

由全概率公式，得

27.证明：假设三个事件A、B、。独立，那么AIJ8、A3及A—3都与C独立.

证明：⑴P((AuB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

二P(ADB)P(C).

⑵PABQ=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C).

(3)产((A-B)C)=产((A-AB)C)="(AC-ABQ=产(A—4)尸(C).

28.15个乒乓球中有9个新球，6个旧球，第一次比赛取匕了3个，用完了放回去，第二次比赛又

取出3个，求第二次取出的3个球全是新球的概率.

解：设A尸第一次取出i个新球，i=0,l,2,3,B表示第二次取出3个新球，那么

30303'3-303「3

尸(功=小⑷尸⑷4)=**+泞W+皆*+*肾=°。89.

r=0115°15^15^15°15^15^15^15

29.要验收一批100件的物品，从中随机地取出3件来测试，设3件物品的测试是相互独立的，如

果3件中有一件不合格，就拒绝接收该批物品.设一件不合格的物品经测试查出的概率为().95,而一件

合格品经测试误认为不合格的概率为0.01,如果这100件物品中有4件是不合格的，问这批物品被接收

的概率是多少？

解：设4户抽到的3件物品中有i件不合格品，i=O,1,2,3.8=物品被接收，那么

30.设以下图的两个系统KL和KR中各元件通达与否相互独立，且每个元件通达的概率均为〃，

分别求系统KL和KR通达的概率.

解：设4,8分别表示系统KL与KR通达，

(1)解法一

解法二：

(2)

习题二参考答案

1.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5,6,分布律为:

X123456

1197531

p

k363636363636

11

2.(1)-；(2)-.

34

3.随机变量X的分布律为:

X012

22121

Pk

353535

因为F(%)=P{XWx},那么

当xvO时，F(x)=P(X<x)=P(^)=O,

22

当OKxvl时，F(x)=P(X<x)=P(X=0)=—,

当1Mxv2时,

221234

FW=P(X^)=P(X=O)+P(X=l)=-+-=-,

当x22时,

F(x)=P(X<x)

22121

=P(X=0)4-P(X=1)+P(X=2)=—+—+—=1

353535

综合上述情况得

0x<0;

22

—0<x<l;

as

随机变量X的分布函数为：尸(x)=134

—l<x<2;

35

1x>2.

4.e-\.

5..

设X表示设备被使用的个数

那么X〜/?(5,0.1)

(I)P{X=2}=(0.1)2(o.9)3=0.0729

(2)

⑶P{X«3}=1-尸{X=4}-P{X=5}=1-C；(0.1)‘(0.9)'+C；(0.1)5=0.99954

(4)P{X21}=1-P{X=0}=1-以(0.9)5口)4)951

6.(1).

设X为甲投篮中的次数，Y为乙投篮中的次数，那么

(1)

(2)

7.(1)—：⑵猜对3次的概率约为3xl()T,这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分

70

能力.

(1)所求概率为：-lr=—

C：70

(\\

(2)令试验10次中成功次数为X,那么X~b10,—

、70,

猜对3次的概率约为3xl0Y,这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分能力.

8.(1)e2；(2)\-e1.

设X服从泊松分布，其分布率为:

9.解：此题为的n重伯努利试验，设X为同时发生故障的台数，那么

(1)设需要配备x个维修工人，i谿发生故障不能及时排除的事件是{X>x},即

P{X>x]=YCoo(0-005/(I-0.005严"

P{X>x}<0.01k=x-¥\

而由于n=200,,所以可以用泊松分布近似替代二项分析，X=np=|o

查泊松分布表得x+l=5,求得x=4,即配备4人即可。

⑵X~8(40,0.005),P{X=k}=(0.005)k(1-0.005)40-*

因维修工人只有一个，设备发生故障不能及时排除的事件是{X22},那么有

(3)由于是2人共同维修100台设备，这里n=100,,入，那么有

设备发生故障不能及时排除的事件是{X23},所以

10..

Y-1当]<r<

11.(1)In2«0.69315,1,Ini.25«0.22314：(2)f(x)=l'

[0,其它

12.(I)tz=1,Z?=-1；

(2)f(x)=\xe2,X>0.

0,x<0

(标/、(何

P{Vln4<X<而⑹=F(而呵-F(而可=\-e~

(3)

0,x<1

2

13.(1)F(x)=<2工+---4,I<x<2；

x

1,x>2

当x<l时;/(x)=0,所以，F(x)=J'Ot/r=0：

当1WXV2时，/(x)=2(l-l/x2),所以，

F(x)=「，(k〃+，2(l-l/『Wr=21+2/d：=2x+2/x-4.

当转1时，/U)=0,所以"*)=+//辿=2f+2"|；=l

综合上述得：

0,x<l

F(x)=hx+--4,1<x<2.

x

1,x>2

0,A<0

r2

j0<X<l

⑵产⑴=22

x

一二—+2x-l,1<x<2

2

1x>2

当x<0时，/*)=(),所以，F(x)=J'(Wz=0；

当OWxvl时，f(x)=x,所以，F(x)=j°Odt+£'tdt=.

11氏〃+"+1(2-％，=芸+口一］

F(x)=

当lKx<2时，f(x)=2-x,所以,

当xN2时，/(x)=0,所以,

综合上述得:

产'/>050100

14.FT(t)=<1P{50<T<100)=/^i_J高.

0,其他

当fvOH寸，分(。=0,所以，心Q)=10x=O；

15..

当x41000时，/*)=(),所以，F(x)=JA(Vr=O；

I()()()

当1000时，/(X)=一广，所以

x

fKXK).v1000

F(x)=f(Wr+ffW■出=1000x11000

JfJ100()t2

器件的寿命X大于1500小时的概率:

设左为器件的寿命X大于1500小时的个数，至少有2只寿命大于1500小时的概率

16.当XK0时，/(x)=0,所以，F(x)=jV(k//=0；

当x>0时，/(x)=」e75,所以

5

尸(幻=j°Oclt+£-e~,,5dt=-e~,!51；=1一"小,

分布函数：

某顾客离开的概率：

以y表示一个月内他未等到效劳而离开窗口的次数，那么

y~B(5,广2),即P{y=A}=C；e-2“]-c-2)5T,=0,1,2,3,4,5：

17.(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3；(3)d<0.42.

(1)

P{X>c}=P[X<c]

c=3

(3)因为P(X>6/)>0.9,那么

(

即cp(rd—-31\<0.1,可知d幺-3一<0,那么①(d土-3上\二1一①3二-d\<0.1

I2)2I2)\2；

所以查表得，d<0.42o

18.应允许。.

根据题意，*.()〜.((Xi),所以有，

CT

(4()、4()

即①—>0.9=0(1.28),从而，21.28,。431.25

k/O-

故允许。.

19..

根据题意，X；「)~N(O,1),所以有，

即①二0.95=①(1.65),从而\；10>1.65,A:>129.8

20

题意，考生外语成绩

其中〃=72,且P{X>96}=0.023

于是：P{X<96}=1-P{X>96}=1-0.023=0.977

又<P{X<96}=0(^^)=0(%~72)=^(―)

craa

查表知：3(2)=0.977

?4

由⑦(x)的单调增加性，得亍=2,b=12

因此，X〜N(72,122)

故

84-7260-72

P{6O<X<84}=0(---------)-0(---------)=0(1)-0(-1)=0(1)-[1-0(1)]=20(1)-1查表得

1212

0(1)=0.841,

故P{60<X<84}=2x0.841-1=0.682

2L184厘米.

设车门的最低高度/?

Y_1

根据题意，一'〜N（0』），所以有，

6

即①Ih170>|>0.99=①（2.33）,从而，l17（）>2.33,/?>184

\6J6

故车门的最低高度。为184.

22.(1)

y=（2x—乃产420冗24乃2

Pk

处理后立即得到V的分布率

Y0n2442

%

⑵

Y=cos(2X一万)-I0-10

Pk

处理后立即得到y的分布率

Y-11

Pi0.3

23.(1)

Y-112

%0.30.50.2

⑵

Y=\X\112

%0.30.50.2

处理后立即得到y的分布率

Y12

Pi0.2

2

24.(1)X的密度函数为fx(x)=-==e(-oo<x<+oo),Y=2X—1的分布函数为

yj2n

,1学】

所以y=2x-i的密度函数为人()')=----e2.—,-8<y<+8

\J2TT2

故M品z

i_£

(2)X的密度函数为力(1)=—=62(-co<x<+x),y=e"的分布函数为

V2n

i(Tny;]

~^e2y>0

所以丫=e7的密度函数为f(y)=

Y=1y

0,y<0

),〉o

fy(y)=1\l27cy:

〔'0,y<0

1

(3)X的密度函数为/»(x)=Y=e2(-oo<x<+oo),y=x?的分布函数为

y/2n

2

FY(y)=P(Y<y)=P(X<y)=P(-^<X<y^)=Jfx(t)dt=l\fx(t)dt,y>0所以

-Jyo

1(-而2

2e2______>()

，v

V=X2的密度函数为4(y)={而,2X/7

0,y<0

[I1e'y,2,y>0

A(y)=i

|0,y<0

25.X的密度函数为/*)=<£'

0,X<0,X>7T

(1)设Y=21nX,那么有

X金

FY(X)=P(Y«工)=PQInX«x)=P(X«/)=j/⑺力。

-<o

2

fx(e),因此当xWO及x之"时，由八(犬)=0知4(x)=0

当()<X<%时•，由人。)="!■知4。)=」一加2,所以所求密度函数为

712万

、—ey2,-co<y<2In

人。)寸21，；

0,21n乃<y<+8

(2)设丫=(：05乂，由于在(0,乃)区间上cosX是严格单调递减函数，那么有

z当一时：

fY(y)=fx(arccosr)­|(arccosr)|=-J，1<yv1

局"V

—,1-1<y<1

2

所以所求密度函数为：fY(y)=\^l-y

0,其他

(3)当0vyv1时,7^(y)=P(Y<y)=尸(sinx<y)

F(、\-:-9,o<y<i

/y(y)=SJl-y2

10,其他

习题三参考答案

3

128

P{1<X<2,3<y<5}=F{3,5}-F{2,3}+F{l,3}-F{l,5}

=(l-2-2-2-5+2-27)_(]_2"-2一3+廿3)4-(l-2-,-2-3+2_,_3)-(i-2-,-2-5+2-1-5).

3

"Hi

2.(1)有放回摸取时的分布律为

3x33x2

p{x=o,r=o}=—,p{x=o,r=i}=—

5x55x5

P{X=\.Y=O}=-p{x=i,y=i}=——

5x55x5

01

96

0

2525

64

1

2525

（2）无放回摸取时的分布律为

p-3x2

P{x=o,y=o}=T，尸{x=o,y=i}=^

2x3

p{x=i,y=o}=T，p{x=i,y=i}=3P~

6i『p；

01

33

0

ToTo

31

1ToTo

3.（1）有放回摸取时，（x,y）的边缘分布律为

01Pi

963

0

25255

642

1

25255

39

Pj

55

（2）无放回摸取时，（x,y）的边缘分布律为

0.p，

333

0

10105

312

1

10105

39

Pi

55

此结果说明不同的联合分布律可以确定相同的边缘分布律，因此边缘分布不能唯一确定联合分布.

4.（1）（x,y）的联合分布律为

01

-10

2

0

36

（2）离散型随机变量X和Y的联合分布函数为

5.

因为x与y相互独立，所以

以此类推，得到下表

1

13

-2

111

-Z

81616

111

-1

61212

111

0

244848

11

261212

6.（x,y）的分布律

(1)Y的边缘分布律P{Y=4}=pA=p14+=0+^+0+0=1

66

由条件分布率

p{x=x/y=匕}=2，，=i,2,…

Pj

?{y=y"X=Xj}=&，八12…

Pi

在y=4的条件下，x的条件分布律；

P{X=l|y=4}=(y^=0.

P{X=2|y=4}=*/\=l.

P{X=3|y=4}=o/-=O.

/6

p{x=4|r=4)=(y1=o.

X1234

p0100

(2)X的边缘分化律P{X=2}=p、.=P2I+p22+“23+〃24=O+'+O+L='

663

由条件分布率

纥八12…

P{Y=yi\X=xi}=

Pi.

在x=2的条件下，y的条件分布律;

p{y=i|x=2}=o/i=o.

吁2|X=2}=：/2

P(y=3|X=2)=()/1=().

P(y=4|X=21=l/m

Y1234

j_

P00

22

1

7•⑴屋

⑶9

27

8.(1)

1

⑵葭

9.由题意知命中点与靶心(坐标原点)的距离为2=Jx?+y2,先求Z的分布函数,

22

当zKO时，Fz(Z)=P{Z<z}=P^X+Y<z1=0

当z>0时，

x=rcosO

令《.八，那么变换的雅可比行列式为

y-rsin6

由x轴，y轴以及直线y=2x4-1所围成的三角形区域的面积8=-,

4

因此(x,y)的概率密度函数为：

4,(-^<x<0,0<y<2x4-1)

0,其他

⑵分布函数为：尸(x,y)=P{X<x,yvy}

(a)当xW-L时，b(x,y)=P{中}=0

(b)

当一!〈文<0时，

2

当x>0时.

综上所述

不<一；或)’<0;

0,

-^■<x<0,0<y<2x+l;

)，(4x+2-y),

y(2-y),x>0,0<y<l;

-^<x<0,y>2x+l;

(2x+l)2,

1x>0,y>1.

11.

所以

4(2x+l),—<X<°/*z、2(1—)，)，0<y<l

fx(x)=,2:彳0,其它一

0,其它

所以

0<x<23y2,0<y<l

JxW="2;人()')=,

其它

0,其它0,

13.

所以

2.4.r(2-x),0<A<l2.4y(3-4y+y2),0<y<1

Jx(x)='其它；

0,0,其它

14.

由x轴，y轴以及直线_y=2(1-x)所围成的三角形区域的面积B=l,

因此(x,y)的概率密度函数为:

1,(0<x<1,0<><2(1-X))

0,其他

所以

,z,——-0<V<2(1-X)

=

JY\X(yI-^)12(1—x)•

0,其它

15.密度函数

所以

"y(xly)=6：+2x.V；/(y|x)=1£12,O<X<1,0<y<2.

2+y6x+2

iI7

P[Y<-\X=-)=—

21240

16.(1)

因为P(x=o,y=o)=尸(x=o)尸(y=o)

所以x和y相互独立：

(2)因为尸(x=o,y=())工尸(x=o)尸(丫=o)

所以x和丫不相互独立.

假设x、丫独立，那么

同理可得

18.习题12中

x

0<x<23p0<y<1

AW=12,4(y)〜

其它

0,其它o,

因为f(x,y)或

所以x和y相互独立。

习题13中

2.4/(2-幻，0<J<12.4y(3—4y+y2),0<y<1

fx(X)=,A(y)二V

(),其它0,其它

因为/(.%>)工/x(x)力(y)

所以x和y不相互独立。

习题口中的x和y相互独立；习题13中的x和y不相互独立.

19.由题设知

,

XX一，一］WXWl,\一，一［«)，《］

&(x)=2'，63=2',

0其他0其他

又x和y相互独立，故x和y的联合概率密度为

事件{1的二次方程有实根向判别式△=丫2-4丫20}=俨2"斗

故得

13

'0.5417.

24

2o.（x,y）的概率密度函数为

x和y相互独立.

}-e-x-e-y+e-(x+y)当x20,y20H寸,

21.产(x,y)=・

0,其它，

（）（）（）因此和相互独立.

Fx,y=FxXFYy,XY

22.

（1）假设zwo,那么4（2）=o

不可能事件的概率等于（）.

（2）假设Ovzvl,

⑶假设z21,

于是得随机变量X+Y的密度函数为

23.

（x,y）的概率密度函数

z=x2+y2,先求z的分布函数

当z«O时,E(Z)=P{Z<z}=P{X2+y2<z}=0

当z>0时,

x=rcos0

令4八，那么变换的雅可比行列式为

y=rsin。

故

-re^

£化）二『呵;一尸〃=2栏+J；J万公=2-ze2,+2cr2-2(y2e2<7'

0

24.

,Z=-(XY)X=Z-2U

令J2V+一

Y=U

U=Y

2z—u>0

满足，0<«<2z

”>()

25.

k)<x<10[0<x<10

满足《，

0<z-x<10z-10<x<z

26.由x和y的概率密度函数可■得x,y的分布函数分别为

于是耳„in（Z）=l一口一与（Z）］［>4（Z）］

习题4解答

X012

Pk