湖北省鄂东南示范高中教改联盟2022年高三压轴卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2,则球的体积与圆柱的体积的比为（）

49316

A.—B.—C.-D.—

31649

2.已知数列｛4｝满足q+4a2+7%+…+（3〃一2）q=4八，则a2a3+%&+…21a22=（）

5355

A.—B.—C.—D.一

8442

3.若平面向量万万兄，满足|万|=2,区|=4,值3=4,|年一万+5|=若，贝！J|〃一的最大值为（）

A.572+73B.C.2V13+V3D.2岳-6

4.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所

示.劳伦茨曲线为直线级时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线0Kz时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等

区域，。表示其面积，S为△<?及：的面积，将Gini=£称为基尼系数.

累

计

收

入

百

分

比

累计人口百分比（%）

对于下列说法：

①Gini越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为丁=/（%）,则对VxeQD,均有故>1;

X

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为〉=f（xe[0,1]）,则Gini=：；

4

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=无3（无e[0,1]）,则Gini=；.

其中正确的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

5.下列不等式正确的是（）

A.sin130°>sin40°>log34B.tan226°<ln0.4<tan48°

C.cos（-20°）<sin65°<1g11

D.tan410°>sin80°>log52

6.若|西|=1,\OB\=y/3,OAOB=0>点C在A3上，且ZAOC=30°，设反="港X+〃丽（根,"eH）,

rri

则一的值为（）

n

A.-B.3C.—D.73

33

x+y>2,

7.若实数MV满足不等式组3x-y«6,则3x+y的最小值等于（）

x-y>Q,

A.4B.5C.6D.7

8.复数z满足2（1+。=2@为虚数单位），则z的虚部为（）

A.iB.-iC.-1D.1

9.欧拉公式为*=cosx+，sin龙,（i虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e会表

示的复数位于复平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1兀

10."sinx=—"是"x=——（keZ）”的（）

26

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：〃=2及〃=3时，如图：

w=3

记S„为每个序列中最后一列数之和，则$6为()

A.147B.294C.882D.1764

12.已知M是函数f(x)=lnx图象上的一点，过以作圆产+丁―2y=。的两条切线，切点分别为A,3,则苏.施

的最小值为()

L5A/2

A.20—3B.-1C.0D.二3

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x,y满足卜4'1—则x+y的取值范围是____.

y>Q,

14.已知函数/(x)=x-"?|In；d恰好有3个不同的零点，则实数机的取值范围为

15.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号

之和是偶数的概率为.

x+2y<l

16.设X,y满足条件,2x+y2—1,则z=2x—3y的最大值为.

x-y<0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知=d+依2-。2彳+2.

(1)若"0,求函数/(九)的单调区间；

(2)若不等式2xlnxW/'(x)+a2+i恒成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)设尸(〃，=Q(n,m)=C；：+m,其中神〃eN*.

人=orn-\-k,

(1)当m=1时，求尸(",1>。(〃,1)的值;

(2)对VmeN+,证明:P(%QQ(〃，㈤恒为定值.

19.(12分)如图所示，直角梯形ABC。中,/山〃3。,4。，45,/归=45=8。=2人£>=2,四边形£。。咒为矩

形,。尸=君.

(1)求证:平面ECF，平面ABC。；

(2)在线段上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为边5，若存在，求出线段BP的长,若不存

10

在,请说明理由.

20.(12分)如图，已知四棱锥尸—A5CD的底面是等腰梯形，ADUBC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,APAD

为等边三角形，且点P在底面ABC。上的射影为AD的中点G,点E在线段上，且CE:EB=1:3.

(1)求证：r>E_L平面上4D.

(2)求二面角A—PC—。的余弦值.

22

21.(12分)已知椭圆E：L+2L=1,过。(-4,0)的直线/与椭圆E相交于A,8两点，且与V轴相交于P点.

62

——3--

(1)若PA=3AQ,求直线/的方程；

(2)设A关于x轴的对称点为C,证明：直线8C过x轴上的定点.

丫2

22.(10分)已知椭圆C：—+/=1,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆。交于M,N两点.

4

(I)若线段MN的中点坐标为11,求直线/的方程；

(II)若直线/过点(4,0),点P(%,0)满足kpM+kpN=b(kPM,kpN分别为直线PM,PN的斜率)，求％的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.

【详解】

设圆柱的底面圆半径为厂，则.=,22-F=5所以圆柱的体积匕=兀（6｝2x2=6兀.又球的体积

万

4“3“23--2----/

V,=-7ix23=—71,所以球的体积与圆柱的体积的比桃=3厂16,故选D.

33K6万9

【点睛】

本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.

2.C

【解析】

利用（3"-2”“的前几项和求出数列｛（3“-2）4｝的通项公式，可计算出％,然后利用裂项法可求出

〃2a3+^3^4+,,,+。21。22的值.

【详解】

・「%+4%+7%H-----\-（3n-2）an=4n.

当九=1时，q=4；

当〃22时，由q+4a2+7/H----\-（3n-2^an=4〃，

可得%+4%+7/+••・+（3H—5卜册_1—4（几—1）9

两式相减，可得（3〃—2）%=4,故%

4

因为q=4也适合上式，所以为二^一

3n-2

,1616f111

依题意，4+14+2-（3"+1）（3.+4）-T13"+1—3"+4>

乜16<11111111116G115

tt^+^4+...+«2A2=-^-7+---+---+...+---J=y^--J=-.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用S“求4,同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.

3.C

【解析】

可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.

【详解】

由题意可得：

c-b=(c-a+b)+(a-2b)，

■：\a-2b|2=(5-2^)2=|万『+4-1b|2-4济5=4+4x16-4x4=52

:\a-2b|=2713,

c-b\2=(c-b)2=[(c-a+b)+(a-2b)]2=\(c-a+b)+(a-2b)|2

=\c-3+bI"+\ci—2bI"+2-\c—3+b||万一2b\-cos<c—3+b,(i+2b>

++3—万+5,a+2b>

=55+4739xcos<c-a+b,a+2b>

,,55+4739

55+4•=52+2x2屈x6+3=(2万+后，

故选：C

【点睛】

本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键

点.本题属中档题.

4.A

【解析】

对于①，根据基尼系数公式Gini=£,可得基尼系数越小，不平等区域的面积。越小，国民分配越公平，所以①正确.

对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得Vxe(0,l),均有y(x)<x,可得△丑<1,所以②错误.对于

X

J.

③，因为。可&一号改丑袅一中^^,所以Gini=?=¥=：,所以③错误.对于④，因为

J。2363上3

2

1

o=J；(无一*3)*=(夫2-54冗=；,所以Gini=1=,=g，所以④正确.故选A.

2

5.D

【解析】

根据sin400<1<log34,In0.4<0<tan226°,cos(-20°)=sin70。>sin650,利用排除法,即可求解.

【详解】

由sin40°<1<log34,In0,4<0<tan226°,cos(-20°)=cos20°=sin70°>sin65°,

可排除A、B、C选项，

又由tan410°=tan500>1>sin80°>^=log5小>log52,

所以tan410°>sin800>log52.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.B

【解析】

利用向量的数量积运算即可算出.

【详解】

解：vZAOC=30°

cos

OCOA73

{mOA+nOB^-OA'

,\mOA+nO^\oA2

m|(?A|+nOB-OAA/3

i2~2

m|OA|+2mnOA-OB+n2研网

•.,网=1,网=6,OAOB^O

mG

y/m2+3rr2

m2=9n2

又在AB上

:.m>0,n>0

:.-=3

n

故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.

7.A

【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值.

【详解】

x+y>2

解：作出实数X,y满足不等式组3x-yV6表示的平面区域（如图示：阴影部分）

x-y>0

x+y-2=0

由o得

由z=3%+y得y=_3x+z,平移y=-3x,

易知过点A时直线在V上截距最小，

所以z*=3xl+l=4・

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题.

8.C

【解析】

2

z=—,分子分母同乘以分母的共朝复数即可.

1+1

【详解】

22(1-i)

由已知,z=---=l-i.故z的虚部为—1.

1+i

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

9.A

【解析】

计算启=cos工+isin2=L走，，得到答案.

3322

【详解】

根据题意#=cosx+，sinx，故＞=cos—+zsin—=—+-^-z»表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

10.B

【解析】

|TTSyr

sinx=—ox=2左乃+々伏eZ）或x=2左"+二伏eZ）,从而明确充分性与必要性.

266

【详解】

17T、冗

由sinX=—可得：x=2k7iH——（k£2）或％=2左》+——（左wZ）,

266

乃1

即%=2k兀H■一（左eZ）能推出sin%=—,

62

]7T

但sin%=—推不出%=2Z〃+—（kwZ）

26

171

“sinx=—”是“x=2左乃+—（左eZ）”的必要不充分条件

26

故选3

【点睛】

本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

11.A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得$6的值.

【详解】

依题意列表如下:

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

£

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42T

]_6

612

55

]_

1510

6

所以56=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

12.C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知|肱4|=|八叫，若设N/4MB=26>,贝”痴耳砺卜$万，所以

福•丽=|丽512cos28=2sin2e+一一-3,而要求祝晨砺的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

sm0

炉+9一2y=0的圆心为C,贝”也。=俞，所以只要|MC|取得最小值，若设M(x,lnx),贝！|

|MC|2=x2+(ln%-l)2,然后构造函数g(x)=Y+(lnx-Ip,利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆Y+y2—2)=0的圆心为C,设NWC=e,贝，必日丽卜W^，sin6=而，设

A/(x,In%),|MC|2=%2+(Inx-1)2,记g(x)=V+(lnx—，贝!|

12

g'(x)=2x+2(lnx-l)--=—(X?+lnx-l),令〃(x)-x2+lnx-l,

xx

因为无。)=X2+111》—1在(0,+8)上单调递增，且姐)=0,所以当0<x<l时，/?(%)<〃⑴=0,g'(x)<0；当尤>1

时,"x)>"l)=0,g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,«功上单调递增,所以g(x)血n=g(D=2,即

阿喈。<sin，冬所以以山血小2。*血+焉-32。(当皿=等时等号成立).

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

【解析】

根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得％+y的取值范围.

【详解】

由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示,

如图所示，图中直线所示的两个位置为y=-%+2的临界位置，

根据几何关系可得y=-x+z与y轴的两个交点分别为(0,-1),(0,72),

所以尤+V的取值范围为[-1,72].

故答案为：

【点睛】

本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题.

14.(e,+co)

【解析】

了(尤)=X-加|In刈恰好有3个不同的零点=0(x^1)恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.

in

【详解】

x

/(x)=x—加|In汨恰好有3个不同的零点=m--,----------1°(XH1)恰有三个根,

解:|lnx\

-----（0,1）

令g(x卜南’("川’g(铲窗Inx

m，X£（l,+00）

LInx

A：e(0,l),^,(A：)=——>0,g(x)在九e(O,l)递增；

Inx

xe(l,oo),g，(x)=l：：I。,

mx

xe(1,e),g<x)=1<0,g(x)递减，

Inx

xe(e,oo),g<x)=l〉0,g(x)递增，

Inx

g(x"n=g(e)=e

，m〉e时，/(x)在xe(0,l)有一个零点，在xe(l,+。。)有2个零点；

故答案为：机e(e,y).

【点睛】

已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.

3

15.-

5

【解析】

先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型

的概率计算公式即可算出结果.

【详解】

一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：

1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有10个，

其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，

因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：*=|.

3

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.

1

16.-

3

【解析】

2z2z

作出可行域，由z=2x—3y得y=—平移直线y=—数形结合可求z的最大值.

【详解】

作出可行域如图所示

2z7

由z=2x_3y得y=§X_§,则是直线在y轴上的截距.

2z7

平移直线y=§x-当直线经过可行域内的点〃时，最小，此时z最大.

2x+y=-l

解方程组

【点睛】

本题考查简单的线性规划，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)答案不唯一，具体见解析(2)[-2,+8)

【解析】

(1)分类讨论，利用导数的正负，可得函数/(x)的单调区间.

(2)分离出参数。后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.

【详解】

(1)/f(x)=3x2+2WC-O2=(x+a)(3x-a)

由=0得x=_q或x=

①当a>0时，由/刎<0,得一a<x<].

由制》)>0，得x<-“或x〉"|

此时的单调递减区间为1-。,-三］,单调递增区间为-和］,+J

②当a<0时，由74%)<0,得］<x<-a

由/得x<g或x〉—a

此时了(尤)的单调递减区间为“J,单调递增区间为1-8,和(F,+8)

综上：当a>0时，/(九)单调递减区间为，鼻，单调递增区间为(-8,-。)和

当"0时，”X)的单调递减区间为除,-4,单调递增区间为17,3和(一口).

(2)依题意大«0,茁)，不等式ZdnxW/'(x)+/+l恒成立

等价于2灯11*<3%2+2依+1在(0,+?)上恒成立，

31

可得aNin%——x——,在(0,+?)上恒成立，

22九‘

设g)=lnx—|x—］,则〃(x)W+*=_(l'x+l)

令”(x)=0,得无=1,%=-j(舍)

当0<%<1时，〃'(x)>0；当x>l时，//(%)<0

当x变化时，网力变化情况如下表:

X(。,1)1(1,+?)

//(X)+0—

/z(x)单调递增-2单调递减

二当x=l时，妆%)取得最大值，/z(x)1mx=-2,a>-2.

***a的取值范围是［—2,+8).

【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.

18.（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）当m=1时可得。（凡1）=+您=〃+可得=1.⑵先得到关系式

=累乘可得「（"⑺=谭》73仅外）=小，从而可得网”，〃，）©（“"Al，即为

定值.

详解：⑴当机=1时，P（«,l）=t（-1）'=-^1（-1/C*=-^7

k=0［十K〃十J.k=0"十工

又Q（"，l）=C+i=〃+1，

所以P（〃,1＞Q（〃,1）=1.

⑵Pi”：含

fl—1

=1+Z（-1＞（Ct+0）—+（-1）〃-

TZim+km+k

n—ln

=1+ZU）**±+2（-琰。3上

Mm+k匿m+k

=如一小＞琰娟袅

=P（"L间+

几k=o〃"十K

=P（n—1,m）4——P（n,m）

n

即P（七加）=-----P（n—l,m）,

由累乘可得P（〃M）=厂半］「（0，间=J,

又Q（”,m）=C,二，

所以P（n,ni）-Q（n,m）=1.

即P（〃，加）恒为定值1.

点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的p(〃,和)和。(小加)的定义，并结合组合数公式求解.由

于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误.

19.(1)见解析；(2)存在，长君

【解析】

(1)先证，面A3CD,又因为CEu面BCF，所以平面ECF±平面ABCD.

(2)根据题意建立空间直角坐标系.列出各点的坐标表示，设加=彳而，则可得出

向量丽=(-2-1,22-2,也可，求出平面ABE的法向量为n=(羽y,z)，利用直线与平面所成角的正弦公式

sin6=cos(8P,〃)=....列方程求出4=0或4=巳,从而求出线段8?的长.

【详解】

解：(1)证明:因为四边形EDCE为矩形，

:.DE=CF=6.

,:AD~+DE~=AE2->-DEYAD

：.DEJLCD：.DE_L面ABCD

.•。工面ABC。

又；CEu面尸

二平面ECF±平面ABCD

(2)取D为原点,DA所在直线为x轴,OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

如图所示:则4(1,0,0),5(120),C(—1,2,0),网0,0,6),网—1,2,百),

设加=ADF=2(-1,2,73)=(-2,22,^2),2e[0,l]；

P(-2,24京)，丽=(-2-1,22-2,732),

设平面ABE的法向量为n=(%,y,z),

.-x-2y+y/3z=0-（

..j，不防设〃=（，3,0,l）.

综上存在这样的P点，线段第的长遥.

本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，考查利用线面所成角求参数问题，是几何综合题，考查空间想象力以及计算

能力.

20.(1)证明见解析(2)叵

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性质可证得DE，AD,由射影可得PG，平面ABCD，进而求证；

(2)取8C的中点工连接GF，以G为原点,G4所在直线为x轴,GF所在直线为y轴,GP所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系,分别求得平面APC与平面DPC的法向量，再利用数量积求解即可.

【详解】

(1)在等腰梯形ABC。中，

•点E在线段8C上，且CE:E3=1:3,

二点E为上靠近C点的四等分点，

VAD=2,BC=4,CE^1,

DE±AD,

•••点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G,连接PG,

.,.PG_L平面ABCD,

•.•DEu平面ABCD,:.PG±DE.

又cPG=G,AOu平面24。,PGu平面。AD,

.•.DE,平面R4D.

（2）取8C的中点居连接Gb,以G为原点,G4所在直线为x轴,GF所在直线为y轴,GP所在直线为z轴,建立空间直

角坐标系，如图所示，

由(1)易知,OE，CB,CE=1,

又ZABC=ZDCB="。，：.DE=GF=A

­.AD=2,APAD为等边三角形,PG=6,

则G(0,0,0),A(l,0,0),0(-1,0,0),P(0,0,®C(-2,瓜0),

uuiu_UULL.-uuu-------.i-

AC=(-3,73,0),AP=(-1,0,回,DC=(-1,73,0),DP=(1,0,丁3),

设平面APC的法向量为玩=（七,%，4）,

m-AC=0—3%|+s/3y^=0

则「，即

m-AP=0-Xj+=0

令玉=6,则Vi=3,Z]=1,；/=(后3,1),

设平面DPC的法向量为为=（工2,%，Z2）,

n-DC=0-%2+—0

则「，即

元DP=0x2+A/3Z2=0

令马=6,则%=1/2=-1,.•工=(6,1,-1),

设平面APC与平面DPC的夹角为，，则

\m-n\_|3+3-1|_765

cos6=

|m|-|n|百13

..・二面角A-PC-D的余弦值为工二.

13

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力与空间想象能力.

21.(1)》=与+正或>=_旦_正；(2)见解析

-82-82

【解析】

(1)由已知条件利用点斜式设出直线/的方程，则可表示出点P的坐标，再由PA=：AQ的关系表示出点A的坐标,

而点A在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率；

(2)设出A,8两点的坐标，则点C的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关

于X的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.

【详解】

(1)由条件可知直线/的斜率存在，则

可设直线1的方程为y=k(x-4),则P(0,软)

___3__.3

由PA=QAQ,有(乙，力—4左)=5(-4-/，一力)，

»128k

所以4==二，

由A，。,在椭圆E上，则+[飞

r1,解得左=士乂4,此时尸o,土一在椭圆E内部，所以满足

L2_=i82

62''

直线/与椭圆相交，

故所求直线/方程为y=1x+走或丁=-'241

-X--