平面向量基本定理及坐标表示教案

§5.2平面向量基本定理及坐标表示（教案）2014高考会这样考1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．复习备考要这样做1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[难点正本疑点清源]1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)．当平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))平行移动到eq\o(O1A1,\s\up6(→))时，向量不变即eq\o(O1A1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up6(→))的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．1．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))，得到λ＋eq\f(1,2)μ＝1，eq\f(1,2)λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝eq\f(4,3).2．在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐标为__________．答案(－3，－5)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.答案0解析由ka＋b与b平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0.4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于 ()A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b答案B解析由已知可设c＝xa＋yb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝x－y,2＝x＋y))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1)).5．(2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C．1 D．2答案B解析a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝eq\f(1,2).题型一平面向量基本定理的应用例1已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值．思维启迪：以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))为基底来表示向量，建立x，y的关系．解根据题意知G为三角形的重心，故eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(GN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，由于eq\o(MG,\s\up6(→))与eq\o(GN,\s\up6(→))共线，根据共线向量定理知eq\o(MG,\s\up6(→))＝λeq\o(GN,\s\up6(→))⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))\o(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x＝－\f(1,3)λ,\f(1,3)＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))))⇒eq\f(\f(1,3)－x,－\f(1,3))＝eq\f(\f(1,3),y－\f(1,3))⇒x＋y－3xy＝0，两边同除以xy得eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3.探究提高利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为_____．答案eq\f(3,11)解析设|eq\o(BP,\s\up6(→))|＝y，|eq\o(PN,\s\up6(→))|＝x，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(x,x＋y)eq\o(BN,\s\up6(→))，①eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,x＋y)eq\o(BN,\s\up6(→))，②①×y＋②×x得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(x,x＋y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,4x＋y)eq\o(AC,\s\up6(→))，令eq\f(y,4x＋y)＝eq\f(2,11)，得y＝eq\f(8,3)x，代入得m＝eq\f(3,11).题型二向量坐标的基本运算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．探究提高向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是__________________．答案(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)解析设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(－3－x,4－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3－x＝1，,4－y＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1；))若平行四边形为ACBD，则由eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－7,2)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(5－x,7－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＝－7，,7－y＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝5；))若平行四边形为ABDC，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x＋3，y－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝1，,y－4＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝9.))综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)．题型三共线向量的坐标表示例3平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.思维启迪：(1)向量相等对应坐标相等，列方程解之．(2)由两向量平行的条件列方程解之．(3)设出d＝(x，y)，由平行关系列方程，由模为eq\r(5)列方程，联立方程组求解．解(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9))).(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－eq\f(16,13). (3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0,x－42＋y－12＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝3))，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．探究提高(1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．(2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．(2011·北京)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若(a－2b)与c共线，则k＝________.答案1解析a－2b＝(eq\r(3)，1)－2(0，－1)＝(eq\r(3)，3)，又∵(a－2b)与c共线，∴(a－2b)∥c，∴eq\r(3)×eq\r(3)－3×k＝0，解得k＝1.忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例：(12分)已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？易错分析本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解．规范解答解由题设，知eq\o(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.[4分]①若a，b共线，则t可为任意实数；[7分]②若a，b不共线，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解之得t＝eq\f(6,5).[10分]综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝eq\f(6,5).[12分]温馨提醒平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件.方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．失误与防范1．要区分点的坐标和向量坐标的不同，向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减始点坐标；向量坐标中既有大小的信息，又有方向的信息．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．与向量a＝(12,5)平行的单位向量为 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(12,13)，±\f(5,13)))答案C解析设e为所求的单位向量，则e＝±eq\f(a,|a|)＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13))).2.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则 ()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)答案A解析由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).3．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案B解析设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ,2＝λ－μ))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2),μ＝－\f(3,2)))，∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.4．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于 ()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)答案B解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝6eq\o(PQ,\s\up6(→))－3eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．答案eq\f(1,2)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．答案eq\f(1,2)解析因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.答案eq\f(1,3)解析∵OC＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).三、解答题(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？解若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若向量ka＋b与向量a－3b共线，则必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－eq\f(1,3).这时ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，所以ka＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在．9．(12分)如图所示，M是△ABC内一点，且满足条件eq\o(AM,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，延长CM交AB于N，令eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，试用a表示eq\o(CN,\s\up6(→)).解因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))，所以由eq\o(AM,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，得(eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→)))＋2(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→)))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＋3eq\o(NM,\s\up6(→))＋2eq\o(BN,\s\up6(→))＋3eq\o(CM,\s\up6(→))＝0.又因为A，N，B三点共线，C，M，N三点共线，由平面向量基本定理，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝μeq\o(NM,\s\up6(→))，所以λeq\o(BN,\s\up6(→))＋3eq\o(NM,\s\up6(→))＋2eq\o(BN,\s\up6(→))＋3μeq\o(NM,\s\up6(→))＝0.所以(λ＋2)eq\o(BN,\s\up6(→))＋(3＋3μ)eq\o(NM,\s\up6(→))＝0.由于eq\o(BN,\s\up6(→))和eq\o(NM,\s\up6(→))不共线，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－1.))所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(CM,\s\up6(→))＝2a.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，则b等于 ()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)答案A解析方法一设b＝(x，y)，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,\f(x－2y,\r(5)\r(x2＋y2))＝－1，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝45，,x－2y＝－15.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))∴b＝(－3,6)．方法二设b＝(x，y)，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,y＋2x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－6，))(舍去)，∴b＝(－3,6)．方法三∵|a|＝eq\r(5)，∴eq\f(1,|a|)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))，－\f(2,\r(5))))，则b＝－3eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|a|)a))＝(－3,6)．2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于 ()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)答案C解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2eq\r(2)，且∠AOC＝eq\f(π,4)，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ的值为 ()A．1 B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案D解析过C作CE⊥x轴于点E(图略)．由∠AOC＝eq\f(π,4)，知|OE|＝|CE|＝2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝eq\f(2,3).二、填空题(每小题5分，共15分)4．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.答案60°解析因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，结合余弦定理知，cosC＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.5．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，则实数a＝________.答案2解析设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x,y－1＝24－y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝3)).∴C(3