《数值计算方法》课程教学大纲

《数值计算方法》教学大纲课程名称：数值计算方法英文名称：NumericalComputationMethods课程编号：F035092131学分：4总学时/课内实践学时：64/8课程性质：必修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介数值计算方法课程是信息与计算科学专业的重要基础课程，旨在培养学生利用计算机解决数学问题的能力。该课程主要内容包括插值与逼近、数值积分与微分、线性代数方程组的数值解、数值求解方程等。课程强调理论与实践结合，通过编程实践让学生掌握数值计算的基本原理和方法。教学采用讲授与上机实验相结合的方式，考核包括平时作业、实验报告和期末考试。课程的特色在于强调数值计算的实际应用，培养学生解决实际问题的能力。在教学中融入思政元素，培养学生严谨的科学态度和责任意识，增强他们对技术应用的社会责任感和民族自豪感。TheNumericalComputationMethodscourseisafundamentalcourseforInformationandComputationalSciencemajors,aimedatdevelopingstudents'abilitiestosolvemathematicalproblemsusingcomputers.Thecoursecoverskeytopicssuchasnumericalsolutionsofequations,interpolationandapproximation,numericalintegrationanddifferentiation,andnumericalsolutionsoflinearalgebraicsystems.Itemphasizestheintegrationoftheoryandpractice,withhands-onprogrammingexercisestohelpstudentsgraspthefundamentalprinciplesandmethodsofnumericalcomputation.Teachinginvolvesacombinationoflecturesandcomputerlabsessions,withassessmentsincludingregularassignments,labreports,andafinalexam.Thecourseischaracterizedbyitsfocusonpracticalapplicationsofnumericalmethods,preparingstudentstotacklereal-worldproblems.Ideologicalandpoliticalelementsareintegratedintothecoursetocultivatearigorousscientificattitudeandasenseofresponsibility,enhancingstudents'awarenessofthesocialresponsibilitiesandnationalprideassociatedwithtechnologicalapplications.二、课程目标1．了解数学家的故事及其所提出的经典算法的背景、数值计算方法发展的历程、前沿研究动态，勤奋踏实，具备良好的科学和文化素养，培养协同合作、服务社会的意识和利用现代技术获取信息、开展学术研究的综合素质，增强科技兴国的使命感。2．熟练掌握误差基本理论、多项式插值和拟合、数值积分和数值微分、方程（组）的数值解法，数值最优化等内容，学会使用相应的软件，为后续课程的学习和理论的实践应用打下坚实基础；熟悉各种常用数值方法的构造思想和算法步骤，掌握其时间和空间复杂性、误差及收敛性的分析方法。3．培养学生用数值逼近方法近似求解数学问题的能力；培养独立思考和判断，具备运用所学专业知识分析问题、设计算法并编程实现以解决实际问题的应用和创新能力。1.Tounderstandthestoryofmathematicianandclassicalgorithmsproposedthebackground,thedevelopmentofnumericalcalculationmethod,thedynamicandcutting-edgeresearchassiduoussureness,havegoodscientificandculturalquality,cultivatetheconsciousnessofcooperationandservethesocietyandmakeuseofmoderninformationtechnology,todevelopthecomprehensivequalityofacademicresearch,enhancethesenseofscienceandtechnologyandrejuvenatingthecountry.2.Masterthebasictheoryoferror,polynomialinterpolationandfitting,numericalintegrationandnumericaldifferentiation,numericalsolutionmethodofequation(group),numericaloptimizationandothercontents,learntousethecorrespondingsoftware,andlayasolidfoundationforthesubsequentcourselearningandthepracticalapplicationoftheory;Familiarwiththeconstructionideasandalgorithmstepsofvariouscommonnumericalmethods,mastertheanalysismethodsoftheirtimeandspacecomplexity,errorandconvergence.3.Cultivatestudents'abilitytosolvemathematicalproblemsusingnumericalapproximationmethods;Cultivateindependentthinkingandjudgment,havetheapplicationandinnovationabilitytousetheprofessionalknowledgetoanalyzeproblems,designalgorithmsandprogramimplementationtosolvepracticalproblems.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础，掌握信息科学、计算科学和计算机科学的基本理论和基本知识。课程目标2毕业要求2：能力要求能运用所学数学和计算机知识解决某些科研或生产中的实际问题。课程目标3毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观，爱国、诚信、友善、守法，具有高度的社会责任感；具有良好的心理素质和积极的人生态度。课程目标1四、课程教学安排课程共有8项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1预备知识爱国教育4042插值与多项式逼近厚植爱国主义情怀122143曲线拟合82104数值积分102125数值微分培养奋斗精神226非线性方程f(x)=0的解法8087常微分方程数值解12214合计56864教学安排1.预备知识教学要求：1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.了解绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义及相互关系；3.掌握函数计算的误差估计，了解误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。认识到数值计算方法课程在大数据时代的重要性及在科学和工程计算中的广泛应用性。教学内容：1.微积分回顾；2.二进制数；3.误差分析。重点难点：理解误差的来源及误差的传播。思政元素：讲授我国古代南北朝数学家祖冲之推算的圆周率的真值比欧洲要早一千多年。他不仅在数学界出名，还是伟大的天文学家。通过这些介绍，学生不仅深刻理解无理数的概念，也认识到我们祖先的聪明智慧，增强民族自豪感，激发学生的求知欲，激励学生发奋学习，积极向上，勇于创新。2.插值与多项式逼近教学要求:1.掌握泰勒逼近和截断误差分析，培养离散思维和近似计算的能力；2.掌握多项式插值，包括拉格朗日插值和牛顿插值多项式；3.掌握误差分析，了解切比雪夫多项式和帕德逼近，培养数值分析能力和科学思维精神。教学内容:1.泰勒级数和函数计算;2.插值介绍;3.拉格朗日逼近;4.牛顿多项式;5.切比雪夫多项式;6.帕德逼近。重点难点:插值的基本概念和方法。Hermite插值。思政元素:讲授我国数学家的案例，培养学生科学精神，激发学生爱国情怀。3.曲线拟合教学要求:1.掌握最小二乘法，了解多项式、指数函数、幂函数最小二乘拟合，培养抽象和逻辑思维能力；2.掌握样条插值和三角多项式逼近，培养逻辑思维能力和科学研究精神；3.了解贝塞尔曲线定义和构造。教学内容:1.最小二乘拟合曲线;2.曲线拟合;3.样条函数插值;4.傅立叶级数和三角多项式;5.贝塞尔曲线。重点难点:曲线拟合的最小二乘法。4.数值积分教学要求:1.掌握机械求积公式及其数值精度；2.掌握Newton-Cotes公式及其数值精度和截断误差，培养科学研究精神和数值分析能力；3.掌握递推梯形公式和龙贝格积分，培养数值计算和逻辑推导能力；4.掌握辛普森公式和自适应积分；5.掌握高斯型求积公式和正交多项式。教学内容:1.积分简介；2.组合梯形公式和辛普森公式；3.递归公式与龙贝格积分；4.自适应积分；5.高斯-勒让德积分。重点难点:数值积分的基本思想和代数精度的概念。插值型求积公式。5.数值微分教学要求:1.掌握泰勒展开求微分公式，培养近似思维能力和科学文化素养；2.掌握插值型数值微分公式，培养数值计算能力和严谨求实的科学精神。教学内容:1．导数的近似值；2．数值差分公式。重点难点:数值微分的基本思想与运算。思政要素:借助微分方程数值解的实际应用案例，引导学生要像工匠一样吃苦耐劳，精益求精，积极进取，善于创新，为我国的社会主义事业贡献力量。6.非线性方程f(x)=0的解法教学要求:1.了解简单迭代法的构造原理，掌握迭代法的收敛性判别准则及收敛阶，培养逻辑思维和判断的能力；2.掌握Newton迭代法及其收敛性条件和收敛阶，了解Newton迭代法的变形方法及重根的求解方法，理解特殊与一般之间的辩证思维关系；3.掌握二分法及多根区间上的寻根方式，培养用数学知识解决实际问题的初步意识和应用能力。教学内容：1.求解x=g(x)的迭代法;2.定位一个根的分类方法;3.初始近似值和收敛判定准则;4.牛顿-拉夫森法和割线法。重点难点:Newton法、弦截法、抛物线法。迭代法的基本思想。7.常微分方程数值解法教学要求:1.掌握Euler法、后退Euler法、梯形法、改进Euler法、Runge-Kutta方法，培养数值计算、数学语言表达和思维的能力；2.了解数值格式的构造，掌握Euler法、后退Euler法、梯形法、改进Euler法收敛阶的判别方法，培养数值计算和算法分析的能力。教学内容:1.常微分方程初值问题简介;2.Euler法、后退Euler法、梯形法、改进Euler法、Runge-Kutta方法;3.局部截断误差;4.证明方法的收敛阶。重点难点:方法的构造；收敛阶的证明。五、课内实践教学内容及要求表3：课内实践教学内容及要求序号教学类型教学内容教学要求1上机插值法掌握利用Lagrange插值和Newton插值，计算插值函数的能力。2上机数值积分掌握利用Newton-cotes型求积公式、Romberg算法、Gauss型求积公式计算积分。3上机非线性方程的数值解法掌握针对非线性方程，利用二分法、逐步搜索法、Newton迭代法、弦截法和加速方法进行求解。4上机常微分方程的数值解法掌握针对一阶常微分方程，掌握显式Euler方法、改进Euler