《数学分析1》课程教学大纲

《数学分析1》教学大纲课程名称：数学分析（2）英文名称：MathematicalAnalysis(2)课程编号：F035091031学分：6总学时/课内实践学时：96/0课程性质：必修课程开课单位：数理科学与工程学院数学系基层教学组织适应对象：信息与计算科学专业一、课程简介数学分析是信息与计算科学专业的一门专业基础课程。是进一步学习复变函数、常微分方程、偏微分方程、概率论、实变函数、泛函分析等后续课程的基础，是数学类专业硕士研究生必考的基础课。本课程的主要内容有极限论、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论，极限思想贯穿本课程始终。课程的主要目的是通过三个学期对数学分析的系统学习与训练，逐步提高学生的数学修养，掌握数学的基本思想和方法，具备一定的理论分析及论证能力，提高学生利用数学分析的基本思想和方法解决实际问题的能力。本课程以课堂讲授为主，辅以自学和讨论。考核方式为闭卷考试。在课堂讲授中，应深入思考挖掘课程中蕴含的哲学及政治思想，将思政教育融汇于教学过程，引导学生树立正确的人生观、价值观，培养学生的家国情怀。Mathematicalanalysisisaprofessionalbasiccourseininformationandcomputationalscience.Itisthebasisforfurtherlearningofcomplexvariablefunction,ordinarydifferentialequation,partialdifferentialequation,probabilitytheory,realvariablefunction,functionalanalysisandothersubsequentcourses.Itisthebasiccourserequiredformasterstudentsmajoringinmathematics.Themaincontentsofthiscourseincludelimittheory,unionaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculus,seriestheory,andlimitthoughtthroughoutthiscourse.Themainpurposeofthecourseistograduallyimprovestudents'mathematicalcultivation,masterthebasicideasandmethodsofthebasicideasandmethodsofmathematics,havecertaintheoreticalanalysisanddemonstrationability,andimprovestudents'abilitytosolvepracticalproblemsthroughthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis.Thiscourseismainlyaboutclassroomteaching,supplementedbyself-studyanddiscussion.Theassessmentmethodisaclosed-bookexamination.Intheclassroomteaching,weshouldthinkdeeplyaboutandexplorethephilosophyandpoliticalthoughtscontainedinthecourse,integrateideologicalandpoliticaleducationintotheteachingprocess,guidestudentstoestablishacorrectoutlookonlifeandvalues,andcultivatestudents'feelingsofhomeandcountry.二、课程目标1.强化科学伦理教育，注重科学思维方法训练和科学精神培养，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生科技报国的家国情怀和使命担当。2.深刻理解极限思想，在极限思想的基础上，掌握一元函数微积分、多元函数微积分、级数论，为后续课程的学习奠定良好的基础。3.掌握数学分析的基本思想与方法，培养数学思维，提高学生运用数学思想和方法解决实际问题的能力。1.Strengthenscientificethicseducation,payattentiontothetrainingofscientificthinkingmethodsandscientificspirit,improvestudents'abilitytoanalyzeandsolveproblems,andcultivatestudents'nationalfeelingsandmissionresponsibilityforservingthecountrythroughscienceandtechnology.2.Deepunderstandingoflimitthought,onthebasisoflimitthought,mastertheunionaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculus,seriestheory,tolayagoodfoundationforthesubsequentcourselearning.3.Masterthebasicideasandmethodsofmathematicalanalysis,cultivatemathematicalthinking,andimprovestudents'abilitytousemathematicalideasandmethodstosolvepracticalproblems.三、课程目标与毕业要求对应关系本课程的课程目标对信息与计算科学专业毕业要求指标点的支撑情况如表1所示：表1：课程目标与毕业要求对应关系毕业要求指标点课程目标毕业要求1：知识要求具有扎实的数学基础，掌握信息科学、计算科学和计算机科学的基本理论和基本知识课程目标2毕业要求2：能力要求通过系统的数学思维训练，掌握数学科学的思想方法，具有扎实的数学基础和较强的数学语言表达能力课程目标2课程目标3毕业要求3：素质要求具有正确的人生观、价值观和道德观，爱国、诚信、友善、守法，具有高度的社会责任感，具有良好的心理素质和积极的人生态度课程目标1四、课程教学安排课程共有8项教学内容，具体安排如下。表2：课程教学安排表序号教学内容思政元素课堂教学学时实验/实践教学学时学时小计1不定积分-——102122定积分人生观104143定积分的应用-——124164反常积分爱国情怀，探索精神104145数项级数-——124166函数列与函数项级数-——144187幂级数价值观4268傅里叶级数合计722496教学安排1.不定积分教学要求：掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，熟练掌握不定积分的运算。教学内容：原函数与不定积分的概念，基本积分表，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，可化为有理函数的积分。重点难点：不定积分的计算。2.定积分教学要求：掌握定积分的由来、概念、几何意义、性质，熟练应用牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分，掌握定积分的可积条件、可积函数类，能够运用可积的充要条件，判断或证明函数的可积性，理解变限积分的性质并能熟练运用此性质求解相关问题。教学内容：定积分的概念，牛顿-莱布尼兹公式，可积条件，定积分的性质，变限积分的性质，定积分的换元法与分部积分法。重点难点：定积分的概念、牛顿-莱布尼兹公式、变限积分与原函数、定积分的性质与计算；定积分的可积条件、可积函数类。思政元素：在求曲边梯形的面积时，我们是把整个曲边梯形划分成若干小曲边梯形，对每个小曲边梯形的面积求近似，再求和，求极限，从而得到整个曲边梯形的面积。这个例子告诉我们，在实际生活中，要把人生中的大目标划分成一个一个具体的、切实可行的小目标（化整为零），然后一步一步踏踏实实努力实现每一个小目标，这样坚持下去，积少成多（积零为整），最终总会实现最初的大目标（取极限）。3.定积分的应用教学要求：会用定积分的思想处理几何、物理中的某些实际问题。教学内容：定积分在几何与物理上的应用。重点难点：微元法的基本思想，定积分在几何与物理上的应用。4.反常积分教学要求：掌握两类反常积分（无穷积分、瑕积分）敛散性的概念集性质，能熟练运用柯西判别法判断非负函数反常积分的敛散性，能够用阿贝尔判别法、狄立克雷判别法判断一般函数反常积分的敛散性。教学内容：反常积分（无穷积分、瑕积分）敛散性的概念，无穷积分的性质与收敛判别，瑕积分的性质与收敛判别。重点难点：反常积分绝对收敛与条件收敛的判别，阿贝尔判别法，狄立克雷判别法。思政元素：通过把嫦娥三号、嫦娥四号、嫦娥五号这一系列月球探测器登月这一激动人心的大事引入课程内容，引导学生思考：火箭的发射速度要满足什么条件，火箭才可以脱离地球引力？从而引出第二宇宙速度，引入无穷积分的概念。从中国航天的重要事件“嫦娥系列月球探测器登月”引入课程内容，激发学生学习的兴趣，同时向同学们展示了中国航天科技的进步、自信、开放和强大，激发学生的爱国情怀，激励学生的科学探索精神。5．数项级数教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质），熟练掌握正项级数的敛散性判别法、交错级数的莱布尼兹判别法，掌握一般项级数的狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，了解更序级数的性质。教学内容：级数的收敛性，正项级数，交错级数，一般项级数。重点难点：级数敛散性的定义、性质、各种判别方法的综合运用，利用狄利克雷、阿贝尔判别法判别一般项级数的敛散性。6.函数列与函数项级数教学要求：掌握函数列的收敛域、极限函数、一致收敛等概念，掌握函数项级数的收敛域、和函数、内闭一致收敛及一致收敛等概念，熟练掌握函数项级数一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，掌握一致收敛函数列及函数项级数的性质。教学内容：函数列及函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛，一致收敛函数列及函数项级数的性质、判别法。重点难点：函数列及函数项级数的收敛、一致收敛的概念、判别；一致收敛函数列及函数项级数的性质。7.幂级数教学要求：理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件，掌握幂级数的性质，能利用幂级数的性质求某些幂级数的和函数，熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法，掌握幂级数展开式的应用。教学内容：Abel定理，幂级数的收敛半径、收敛域，函数的幂级数展开，幂级数的性质及运算，求和函数。重点难点：幂级数的收敛半径、收敛域，函数的幂级数展开，幂级数的性质及运算，求和函数。思政元素：在讲述Abel定理时，介绍挪威数学家Abel（1802-1929）的生平，他短短27年的生命里，一直生活在贫穷、饥寒、病痛之中，但他没有屈服于艰难的命运，他的数学才华在他13岁时就已凸显，此后虽历经磨难，却毕生坚持对数学的热诚，在追求真理的道路上孜孜不倦，坚定信念，创造出大量的开创性的数学成果。通过数学家经历的了解，感受数学家们坚定的信念，学习数学家们不惧艰难困苦，为科学奉献的精神。8.傅里叶级数教学要求：掌握三角函数系的正交性与傅里叶级数的概念，了解傅里叶级数的收敛定理，能把周期函数展成傅里叶级数。教学内容：傅里叶级数的概念，傅里叶级数的收敛定理，周期函数的傅里叶级数展开。重点难点：傅里叶级数收敛定理的证明，周期函数的傅里叶级数展开。五、课内实践教学内容及要求无六、课程考核与评价表4：成绩评定方式表考核环节分值考核/评价细则平时成绩40根据出勤，课堂表现,作业，小测验等按40%计入总成绩期末考试60闭卷